Задание 2. Расчет статически неопределимой балки сложного сечения

• 1. Раскрыть статическую неопределимость методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси, определить реакции закрепления.
• 2. Построить эпюры Q и М, выразив все ординаты через интенсивность распределенной нагрузки.
• 3. Определить геометрические характеристики сложного сечения: положения центра тяжести и проходящий через него главной центральной оси инерции z, осевой момент инерции и осевой момент сопротивления .
• 4. Из условия прочности, приняв [??] = 160 Мпа, определить грузоподъемность (значение q).
• 5. Проверить условие жесткости и, если они не удовлетворяются, подобрать другое значение нагрузки q.

Дано:

Решение:

1. Раскрыть статическую неопределимость методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси, определить реакции закрепления.

Имеем 3 уравнения, 4 неизвестных? балка 1 раз статически неопределима.

Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси по двум участкам балки по методу уравнивания постоянных.

На первом участке 0? x? 4:

На участке 4? x? 8,8:

Подставляя x=0 в и на первом участке, получаем C=D=0.

Подставляя x=4, получаем третье необходимое уравнение:

Решим систему уравнений методом Гаусса.

q.

q.

2. Построить эпюры Q и М, выразив все ординаты через интенсивность На участке.

На втором участке :

• 3. Определить геометрические характеристики сложного сечения:
  • а) Площадь прямоугольника:

Момент инерции прямоугольника около его оси :

Геометрические характеристики швеллера № 18:

.

Координата центра тяжести:

б) Момент инерции сложного сечения определяем с применением формул преобразования моментов инерции его отдельных частей от собственных главных центральных осей и к параллельной им главной центральной оси инерции всего сечения z:

Ось z при приложении нагрузки в плоскости xy станет нейтральной осью. Наибольшие по модулю растягивающие и сжимающие напряжения будут действовать в крайних волокнах, удаленных от нейтральной оси на расстояния и .

• в) Осевой момент сопротивления:
  • 4. Из условия прочности, приняв [??] = 160 МПа, грузоподъемность (значение q).
  • 5. Проверка условий жесткости:
    • а) Максимальный допустимый прогиб в пролете:

Чтобы определить максимальный прогиб в пролете, найдем точку экстремума функции, решив уравнение на первом участке:

. Два корня этого уравнения — и принадлежат отрезку (решили его приближенным методом).

Таким образом, Прогиб в пролете при нагрузке.

Условие выполняется:

б) Максимальный допустимый прогиб в консоли:

Определим прогиб на конце консоли. Как правильно, равен прогибу на конце консоли:

Прогиб в консоли при нагрузке.

Условие не выполняется:

Т.к. условие жесткости не выполняется, нагрузку нужно подобрать другую:

МПа.

Мпа.