Расширенные предпочтения. 
Теории обобщенных паросочетаний

При решении задачи о распределении студентов по колледжам можно вместо классических предпочтений (участников относительно друг друга) рассматривать предпочтения относительно коллективных выборов (каждого участника относительно наборов, соответствующих всем возможным исходам распределения) — расширенные предпочтения. Они строятся на основе классических предпочтений с помощью методов расширения.

Для данных предпочтений строятся расширенные предпочтения неординальными и ординальными методами [7].

Неординальные методы бывают двух типов: лексикографические и вероятностные. Лексикографические разделяются на лексимин (максимин) и лексимакс (минимакс). Вероятностные упорядочивают наборы либо по убыванию вероятности наилучшей альтернативы, либо по возрастанию вероятности наихудшей альтернативы.

Лексимин (максимин) основывается на сравнении худших альтернатив [8]. Упорядочивание расширений предпочтений начинается с наихудших альтернатив. Если они совпадают, рассматриваются вторые худшие альтернативы и так далее. Когда дальнейшее сравнение невозможно (один коллективный выбор является подмножеством другого), больший по мощности набор предпочитается меньшему.

Лексимакс (минимакс) — принцип сравнения лучших альтернатив. Первым делом сравниваются наилучшие альтернативы. При их совпадении сравниваются вторые наилучшие и так далее. Если сравнение становится невозможно (один коллективный выбор является подмножеством другого), меньший по мощности коллективный выбор предпочитается большему.

Упорядочивание по убыванию вероятности наилучшей альтернативы — максимизируется вероятность выбора наилучшей альтернативы, т. е. если в упорядоченных наборах на первом месте стоят одинаковые альтернативы, предпочтение отдается тому набору, где вероятность окончательного выбора данной альтернативы выше. При равной вероятности переход к следующему элементу и аналогичное сравнение.

Упорядочивание по возрастанию вероятности наихудшей альтернативы — сравниваются упорядоченные наборы, если первом месте стоят одинаковые альтернативы, предпочитается тот набор, где вероятность окончательного выбора худшей альтернативы ниже. При равной вероятности переход к следующему элементу и аналогичное сравнение.

Ординальные методы В этой модели каждой альтернативе назначается полезность, а далее максимизируется ожидаемая полезность:

Каждой альтернативе приписывается полезность в соответствии с местом, которое она занимает в предпочтениях участника. Мы производим ранжирование, присваивая наиболее предпочитаемой альтернативе ранг m (m — общее число альтернатив), следующей за ней — ранг и так далее. Наименее предпочитаемая альтернатива в наборе получает ранг 1.

Все альтернативы в коллективном выборе равновероятны, поэтому полезность набора альтернатив равна средней полезности всех альтернатив, входящих в коллективный выбор.

Однако, при количестве альтернатив возникнут ситуации, когда несколько наборов имеют одинаковую полезность. Для устранения несравнимости к ординальному методу применяют дополнительные условия:

• · Лексимин и лексимакс дополнения (применение лексикографических методов для наборов с равной полезностью).
• · Вероятностные дополнения (применение вероятностных методов для наборов с равной полезностью).
• · Рискофил и рискофоб дополнения (сравнение дисперсий ожидаемого выигрыша для наборов с равной полезностью и упорядочивание по их возрастанию или убыванию, соответственно). Для 3, 4, 5, 6 альтернатив рискофил дополнение аналогично методу упорядочивания по убыванию вероятности наилучшей альтернативы, а рискофоб дополнение — методу упорядочивания по возрастанию вероятности наихудшей.
• · Дополнения в виде упорядочивания по мощности (упорядочивание наборов с одинаковой полезностью по убыванию или возрастанию мощности). Для случая 3 альтернатив упорядочивание по возрастанию мощности совпадает с методами лексимин и ранговый лексимин, а упорядочивание по убыванию — с методами лексимакс и ранговый лексимакс. При большем количестве альтернатив возникает несравнимость некоторых наборов, которая устраняется применением к ним еще одних дополнений из перечисленных выше.

Примеры построения расширенных предпочтений. Пусть есть альтернативы a, b, c (причем,), тогда расширение будет выглядеть следующим образом.

1) Лексимин = ранговый лексимин = ранговый по возрастанию мощности.

2) Лексимакс = ранговый лексимакс = ранговый по убыванию мощности.

3) Рискофоб = по возрастанию вероятности наихудшего.

4) Рискофил = по убыванию вероятности наилучшего.

Пусть есть альтернативы a, b, c, d (причем,), тогда расширение будет выглядеть следующим образом.

1) Лексимакс.

2) Лексимин.

3) Ранговый лексимакс = ранговый по убыванию мощности+лексимакс = ранговый по убыванию мощности+рискофил.

4) Ранговый лексимин = ранговый по возрастанию мощности+лексимин = ранговый по возрастанию мощности+рискофоб.

5) Рискофоб = ранговый по возрастанию вероятности наихудшего.

6) Рискофил = ранговый по убыванию вероятности наилучшего.

7) Ранговый по убыванию мощности+лексимин = ранговый по убыванию мощности+рискофоб.

8) Ранговый по возрастанию мощности+лексимакс = ранговый по возрастанию мощности рискофил.

9) По убыванию вероятности наилучшего.

10) По возрастанию вероятности наихудшего.