Моделирование процессов электрических цепей с помощью дифференциальных уравнений

Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

ИНСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра «Персональная электроника»

Курсовой проект по дисциплине «Математические методы в электронике»

ТЕМА: «Моделирование процессов электрических цепей с помощью дифференциальных уравнений»

Выполнил: студент 2141 группы Малышев А. М Руководитель: профессор, д.т.н.

Трофимов А. Т Дубна 2014 г.

ЗАДАНИЕ на курсовой проект Задачи:

1. Составление дифференциального уравнения для описания процессов в электрической схеме.

2. Решение дифференциального уравнения (моделирование процессов) для 3 случаев:

2.1. При заданных начальных условиях.

2.2. При входном воздействии единичным скачком (функция Хевисайда).

2.3. При заданном входном воздействии (Гауссов импульс).

3. Исходные данные

3.1 Дана схема Рис. 1. Электрическая схема

3.2 Задан входной импульс вида — Гауссов импульс.

? = 1/RC — параметр импульса.

3.3 Значение величины RC равно 0,1.

3.4 Начальные условия:

Y (0) = 1 — для дифференциального уравнения 1 порядка;

Y`(0) = 0 — для дифференциального уравнения 2 порядка.

3.5 Длительность сигнала [Те] = 2 Секунды.

4. Выводы.

Анализ исходных данных

Произведение RC — это постоянная времени заряда определяющая как быстро происходит изменение напряжения.

Зарядка и разрядка конденсатора до определенного напряжения занимает конечный период времени (называемый постоянной времени); это время зависит в основном от емкости конденсатора и включенного последовательно сопротивления.

Постоянная времени заряда — это время, которое требуется конденсатору, чтобы зарядиться до 63, 2% приложенного напряжения. Эта постоянная выражается как произведение RC.

Составление дифференциального уравнения для описания процессов, протекающих в данной цепи:

Для составления дифференциального уравнения необходимо составить уравнение исходя из 2 закона Кирхгофа. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

Формулировка второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре.

Напряжение обозначается буквой u.

Запишем этот закон в аналитической форме в соответствии со схемой, представленной на рисунке 1:

uc (t) + uR (t) + uR (t) = e (t)

uc — Напряжение на конденсаторе. uR — Напряжение на резисторе.

Вывод уравнения:

Данная схема состоит из одного контура, все элементы соединены последовательно, значит, токи на каждом элементе равны между собой.

Обозначим выходное напряжение как Y (t).

Напряжение на втором резисторе равно выходному напряжению Y (t), а, так как эти резисторы одинаковые, то напряжение на первом резисторе тоже будет равняться выходному напряжению.

uR (t) = Y (t)

Найдем напряжение на конденсаторе (uc):

Напряжение выводится из формулы, для нахождения тока, протекающего через конденсатор.

Выразив из предыдущего уравнения напряжение uc, получим формулу для нахождения напряжения на конденсаторе:

Теперь нужно выразить ток, протекающий через конденсатор. Так как токи на каждом элементе равны, значит, ток на любом из резисторов будет равен току на конденсаторе.

а ток на резисторе выражается исходя из закона Ома:

где uR это выходное напряжение, которое мы обозначили как Y (t).

В итоге:

Подставим полученное выражение в формулу для нахождения напряжения на конденсаторе, и вынесем R за знак интеграла, так как это константа.

В результате, формула для нахождения напряжения на конденсаторе будет иметь вид:

Подставим в уравнение Кирхгофа значения, и uR (t) = Y (t).

приведем подобные слагаемые:

Далее, продифференцируем обе части уравнения.

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы коэффициент при старшей производной отсутствовал;

В результате, получено дифференциальное уравнение для описания выходного сигнала схемы, указанной на рисунке 1:

Решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях

Моделирование процессов, протекающих в схеме, заключается в поиске решений уравнения, описывающего данную схему.

Математическая модель — это представление какого-либо объекта с помощью математической символики в некоторой среде.

Моделирование — исследование объектов познания на их моделях; Построение и изучение моделей реально существующих объектов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя.

Ниже представлена программа, написанная с помощью средства MathCad, которая решает однородное дифференциальное уравнение первого порядка, при входном сигнале e (t) = 0; и начальных условиях Y (0) = 1.

Рис. 1. График изменения входного (e (t)) и выходного (Y (t)) напряжения схемы

Вывод

функция электрический гаусс импульс

При определенных начальных условиях на обкладках конденсатора имеется энергия, в виде электромагнитного поля, создающего ток в цепи. Нагрузка R образовала проход между пластинами. Отрицательно заряженные электроны, накопленные на одной пластине, согласно силе притяжения между разноименными зарядами, двинутся в сторону положительно заряженных ионов на другой пластине. Напряжение uс вызывает в цепи ток i, и конденсатор начинает разряжаться по экспоненциальному закону.

Решение дифференциального уравнения при входном воздействии единичным скачком (функция Хевисайда).

Переходной характеристикой цепи является сигнал на её выходе, при подаче на вход единичный скачек (функцию Хевисайда) .

Так как в дифференциальном уравнении для данной схемы присутствует производная входного сигнала, а результатом дифференцирования единичного скачка будет дельта-функция, которую невозможно рассчитать в среде MathCad, то решение сводится к заданию начальных условий. В момент резкого скачка входного напряжения, напряжение на конденсаторе скачком измениться не может, зато появится ток, протекающий через конденсатор, т.к. сопротивление в этот момент очень маленькое. Значит, напряжение будет определяться только сопротивлениями R. По закону Ома, в последовательной цепи, напряжения складываются, значит, выходной сигнал будет равен половине входного. Входным является единичный скачек, значит Y (0) будет равно 1/ 2.

Затем, конденсатор будет заряжаться, увеличивая напряжение на обкладках, и соответственно уменьшая ток в цепи, до тех пор, пока не зарядиться. Как только напряжение на конденсаторе достигнет максимума, ток в цепи пропадет. Программа, отображающая переходную характеристику, выглядит следующим образом:

Рис. 2. Переходная характеристика цепи. Входной сигнал — Ф (t) и выходной — Y (t).

Вывод

Со временем, по мере зарядки конденсатора ток уменьшается и напряжение на емкости растет, а напряжение на сопротивлении падает.

Решение дифференциального уравнения при заданном входном воздействии (Гауссов импульс)

Промоделируем схему, при подаче на вход импульса Гаусса.

Программа выглядит следующим образом:

Рис. 3. График изменения входного (e (t)) и выходного (Y (t)) напряжения на выходе схемы e (t) — Гауссов импульс (нулевая функция Эрмита) и, Y (t) — первая функция Эрмита

Вывод

Ток iс через ёмкость пропорционален производной приложенного к ней напряжения таким образом, выходное напряжение (на резисторе) равно iC * R. Значит, выходной сигнал будет производной, и отображает скорость изменения напряжения входного сигнала.

С ростом ЭДС (e (t)) напряжение на конденсаторе растет, с уменьшением ЭДС, ток через конденсатор начинает течь в обратную сторону, и напряжение на конденсаторе становится отрицательным.

Выходной сигнал имеет задержку по времени, что обусловлено постоянной RC, то есть необходимо время, для заряда и разряда конденсатора.

.ur