Обработка результатов косвенных измерений

В тех случаях, когда физическая величина не может быть измерена непосредственно, прибегают к косвенным измерениям.

Пусть для нахождения величины N пришлось измерить какие-то величины x, y и z. Величины N, x, y, z связаны функциональной зависимостью N = f (x, y, z).

В этом случае средняя абсолютная ошибка ДN_ср может быть найдена по правилам дифференцирования, если знак дифференцирования d заменить знаком ошибки Д и выбрать знаки таким образом, чтобы величина ошибки была максимальной, то есть.

dN = (?N/?x) dx + (?N/?y) dy +(?N/?z) dz (6).

Д N = (?N/?x) Дx + (?N/?y) Дy +(?N/?z) Дz (7).

Пример. Объем цилиндра V = рR²H, то есть V = f (R, H).

В этом случае.

dV = (?V/?R) dR + (?V/?H) dH = 2р RH dR + р R² dH.

Абсолютная ошибка Д V_ср = 2р RH ДR + р R² ДH.

(В частном случае, когда N = f (x), формула () принимает вид:

Д N = (?N/?x) Дx (7').

То есть абсолютная ошибка функции одного аргумента равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции).

Относительная погрешность равна.

E = ?N_ср / N_ср,.

А так как дифференциал натурального логарифма.

d (ln N) = dN / N, (8).

то Д (ln N_ср) = Д N_ср / N _ср,.

или.

E = Д N_ср / N_ср = Д (ln N_ср) (9).

Таким образом, относительная ошибка результата равна полному дифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых величин. При вычислении надо брать сумму абсолютных значений дифференциалов всех членов логарифма (все частные ошибки складываются) с заменой знаков d знаком Д .

Определение погрешности для косвенных измерений удобно проводить по следующей схеме:

Вычисляем относительную погрешность измерения.

E = Д N_ср / N_ср

Для этого следует:

• а) прологарифмировать расчетную формулу;
• б) найти от логарифма полный дифференциал;
• в) сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал и выражения в скобках, стоящие перед диференциалом, взять по модулю;
• г) заменить все дифференциалы d независимых переменных абсолютными ошибками измерений Д, а все минусы перед дифференциалами заменить плюсами, так как все частные ошибки складываются.