Обработка результатов непосредственных измерений

Рассмотрим теорию случайных ошибок, допускаемых при непосредственном измерении каких-либо величин. В ее основе лежит три положения: 1) ошибки измерения принимают непрерывный ряд значений; 2) при большом количестве измерений одной и той же величины ошибки разного знака встречаются одинаково часто; 3) большие по абсолютной величине ошибки встречаются реже, чем малые, то есть вероятность появления ошибки уменьшается с ростом ее величины.

Пусть при непосредcтвенном измерении какой-либо величины получен ряд значений x₁, x₂,.. .x_n, каждое из которых отличается от истинного значения x₀ на величину Дx_i, представляющую погрешность отдельного измерения, тогда:

x₁ = x₀ — Дx₁;

x₂ = x₀ — Дx₂; (1).

.. .. ... .

x_n = x₀ — Дx_n;

Суммируя почленно равенства (1), получим.

_{n n}

? x_i = nx₀ —? Дx_i

^{i=1 i=1}

Если n велико, то, согласно второму положению,.

_n

? Д x_i = 0.

ⁱ⁼¹

Тогда? x_i = nx₀, следовательно,.

ⁱ⁼¹

(x₁+x₂+. .. +x_n)/n = x₀ = x_ср. (2).

Из выражения (2) видно, что при большом числе измерений среднее арифметическое x_ср всех результатов измерений совпадает с истинным значением x₀ определяемой величины. При ограниченном числе измерений среднее арифметическое отличается от истинного значения на некоторую величину Дx и равенство (2) будет приближенным x₀? x_ср. В дальнейшем мы оценим величину этого расхождения.

Случайные ошибки представляют не что иное, как случайные события по теории вероятностей. Гаусс, рассматривая случайные события, установил нормальный закон распределения случайной величины, который применим и для результатов измерений при наличии случайных ошибок Дx_i:

(-Дx²_i/2у²).

f (Дx_i) = (1/ у² v2р) e (3).

где f (Дx_i) — вероятность отклонения случайной величины x от ее наиболее вероятного значения x₀. Параметр у в формуле (3) называется стандартной ошибкой, а ее квадрат у² — дисперсией измерений. График функции f (Дx_i) для разных значений у представлен на рис. 1, а, б.

Рис. 1.

Как видно из рисунков, формы кривых определяются именно дисперсией у². Таким образом, по кривым можно оценить вероятность появления случайной ошибки. С ростом у вероятность случайной ошибки уменьшается, то есть наиболее вероятные ошибки будут близки к нулю. Это означает, что большие ошибки менее вероятны, Дисперсия характеризует быстроту уменьшения вероятности появления ошибки Дx_i. Поэтому она является мерой оценки точности измерений.

При ограниченном небольшом числе измерений дисперсия определяется по приближенной формуле погрешность математический физический.

_n

у²? s² =? (x_ср — x_i)²

ⁱ⁼¹

где s = v (1/(n-1))((x_ср-x₁)² + (x_ср-x₂)² +. .. +(x_ср-x_n)² (4).

представляет собой среднюю квадратичную ошибку, или стандартное отклонение (ошибку).

Теория вероятностей показывает, что случайная величина, распределенная по нормальному закону (рис. 2), практически отклоняется от среднего значения на величину, не превышающую утроенного среднего квадратичного значения измеряемой величины.

Нормальная кривая разделяется на три зоны, каждой из которых соответствует определенная вероятность попадания случайной величины. В интервал от x_ср — s до x_ср + s попадает 68% всех измерений. В интервале от x_ср— 2s до x_ср+ 2s то есть с удвоенной стандартной ошибкой, укладывается 95% всех измерений, а в интервал от x_ср — 3s до x_ср +3s — 99,7%. Только 0,003% всех измерений выходит за пределы интервала (x_ср — 3s, x_ср +3s). Практически вероятность таких измерений равна нулю. Таким образом, удобство применения стандартной ошибки в качестве основного выражения погрешности измерения заключается в том, что ей соответствует математически обоснованная определенная вероятность, называемая доверительной вероятностью, а соответствующий ей интервал называется доверительным интервалом.

Из-за ограниченности времени в лабораторной практике экспериментатор не в состоянии провести большое количество измерений, например n>30. Стьюдент нашел закон распределения плотности вкроятности, который при 20 измерениях практически не отличается от нормального закона распределения плотности вероятности Гаусса. Им была установлена связь абсолютной ошибки Дx с коэффициентом Стьюдента t_{б, n} и средней квадратичной ошибкой определяемая выражением Sx_ср

Дx = x₀ = t_{б, n} (s/ vn) = Sx_ср (5).

Коэффициент Стьюдента зависит от числа проведенных измерений n и доверительной вероятности б, часто называемой надежностью. Для различных n и Стьюдентом были найдены соответствующие значения t_{б, n}. Некоторые из них, часто используемые в экспериментальной практике, приведены ниже в таблице.

При выполнении лабораторных работ обычно ограничиваются доверительной вероятностью, равной 95%. В более строгих измерениях доверительная вероятность может составлять 99%. Таким образом, выбрав необходимую для данного эксперимента доверительную вероятность б, по данному количеству измерений n из формулы (2) находят x_ср, а по выражению (4) — s. По заданным n и б из таблицы находят значение t_{б, n}, по которому, пользуясь уравнением (5), определяют абсолютную ошибку Дx. Результат измерений записывают в виде неравенства.

x_ср — Дx? x₀? x_ср + Дx или x₀ = x_ср + Дx.

Это означает, что истинное значение x₀ измеряемой величины x попадает в доверительный интервал (x_ср — Дx, x_ср + Дx) с вероятностью, равной б. Мы видим, что в качестве истинного значения принимается не одно, а множество чисел, не выходящих за пределы доверительного интервала.

Абсолютная ошибка измерения сама по себе еще не дает достаточного представления о точности проведенного эксперимента. Например, ошибка в 1 см при измерении размеров кирпича будет недопустимо груба. В то же время измерение расстояния между двумя городвми, с такой же ошибкой означало бы высокую точность измерения. Поэтому для оценки точности измерений вводится понятие относительной ошибки.

Относительной ошибкой называют отношение абсолютной ошибки к среднему арифметическому результату измерения:

Е = + (Дx/x_ср).

Относительную погрешность принято выражать в процентах:

Е = + (Дx/x_ср) 100%.

Чем меньше относительная ошибка, тем выше точность измерения.

Теория Стьюдента опровергает ложное предположение, что для расчета ошибок необходимо провести множество измерений. Из таблицы видно, что ошибку можно рассчитать и для двух — трех измерений. Но так как погрешность среднего арифметического уx_ср = у/vn, где — стандартная погрешность единичного измерения, то при большом числе измерений погрешность среднего арифметического уменьшается.

Рассчитаем ошибку при прямом измерении какой-либо величины. Пусть при измерении диаметра капилляра получены следующие числовые значения: 2,83; 2,82; 2,81; 2,85; 2,87 мк.

Найдем среднее арифметическое значение:

D_ср = (2,83 + 2,82 + 2,81 + 2,85 + 2,87)/5 = 2,84мк.

Определим среднюю квадратичную ошибку измерения:

s = 2,45×10^-2 мк.

Получим среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического:

s_Dср = (2,45×10^-2)/ 5 = 0,011 мк.

Приняв доверительную вероятность равной 0,95, из таблицы коэффициентов Стьюдента найдем значение t _0,95;5 = 2,78, по которому определим ошибку ДD, или полуширину доверительного интервала;

ДD = t _{б, n} s_Dср = 2,78×0,11 = 0,03 мк.

Ширина доверительного интервала при + 0,95 будет находиться в пределах (2,84−0,03)? D_ср? (2,84+0,03). Наиболее близкими к истинному значению измеряемой величины будут величины, находящиеся в интервале.

D₀ = D_ср + ?D = (2,84+0,03) мк.

Относительная ошибка результата измерения определяется по формуле Е = 0,03/2,84 = 0,1 = 1%.

Если точность прибора такова, что при любом числе измерений получается одно и то же число, лежащее где-то между делениями шкалы, то результат измерения записывается так:

x_ист = x_ср + Дx_пр,.

где x_ист — искомый результат измерения;

x_ср — средний результат, равный среднему арифметическому из двух значений, соответствующих соседним делениям шкалы, между которыми заключено остающееся неизвестным истинное значение измеряемой величины;

Дx_пр — предельная погрешность, равная половине цены деления шкалы прибора.

Иногда положение какого-либо указателя, например столбика ртути в термометре, трудно различимо в пределах одного деления, равного, допустим 0,1^о С. Тогда за предельную погрешность измерения берется значение всего деления, а не его половины.

Часто в работах даются значения некоторых величин, известных заранее. В таких случаях абсолютную погрешность принимают равной ее предельной величине, то есть равной половине единицы наименьшего разряда, представленного в числе. Например, если дана масса тела m_ср = 532,4 г, то Дm = 0,05 г, следовательно — m = 532,4 + 0,05 г.