Движение сингулярностей в потоках Риччи

Модель (5) обладает уникальным свойством расширения в теории потоков Риччи [37−44], что позволяет задавать движение в системе тел. В этом случае гравитационные потенциалы в системе уравнений (16) зависят от времени по заданному закону [2−6].

Для моделирования изменения метрики при движении сингулярностей используем потоки Риччи [37−44], которые описываются уравнением.

(22).

Здесь — коэффициент диффузии, которые в стандартной теории [37−44] полагают равным, однако в метрике (2) с учетом сигнатуры следует положить, тогда (5) сводится к системе уравнений параболического типа:

Рис. 1. Линии уровня потенциала системы при распределении сингулярностей на окружности (вверху, слева) и траектории частиц в метрике (2), полученные путем численного решения системы уравнений (15) с потенциалами (6). Внизу справа представлены зависимости координат от времени — синяя, желтая и зеленая кривая соответственно.

(23).

Сравнивая (23) и (5) находим, что для установившихся потоков при условиях система (23) сводится к (5). Обоснованием для такого перехода от статической системы (5) к системе уравнений параболического типа (23) может служить теория, развитая в работах [37−44] и других.

Физический смысл расширения статической модели (5) до модели (23), описывающей потоки Риччи, заключается в том, что по начальным и граничным условиям можно определить к каким решениям сходится решение системы уравнений (5), содержащее особенности, например, решение (6).

Для многих практически важных задач, таких как слияние черных дыр [7−9], достаточно будет знать, как изменяется метрика бинарной системы при сближении центров гравитации с заданной скоростью. Модель потоков Риччи (23) позволяет ответить на этот и другие вопросы, связанные с изменением метрики [2−6].

Рассмотрим задачу об установлении потенциалов системы (23) при столкновении сингулярностей в прямоугольной области при заданном начальном условии.

(24).

Здесь функция задается вторым уравнением (6). Решение будет зависеть от краевых условий, которые мы сформулируем следующим образом:

(25).

Здесь — граница области, отделяющая область численного интегрирования от оси системы, содержащей сингулярные точки потенциала (9). Такая постановка задачи позволяет исключить сингулярности в решениях. Наконец, положим, тогда, задавая движение сингулярностей в виде и условие периодичности на краях, имеем постановку задачи о столкновении частиц, распределенных на окружности. Таким образом, общая теория относительности позволяет описать гравитационное поле и динамику частиц в случае кольцевого распределения материи [31].

Полученные результаты могут быть использованы для моделирования динамики частиц в кольцевых галактиках, в планетарных кольцах и в поясе астероидов. Представляется интересным найти геометрический образ и вывести модель для описания рукавов спиральных галактик, однако решение этой задачи выходит за рамки настоящей работы.