Равновесие капельной жидкости в поле земного тяготения

Поверхность уровня. Рассмотрим равновесие жидкости в поле земного тяготения в пределах небольшой ограниченной области. Тогда ускорения свободного падения в различных точках этого пространства будут параллельны и направлены вертикально. Расположим координатную ось 0z вертикально; при этом ускорение свободного падения g=9,81 м/с2 будет направлено параллельно оси 0z.

Уравнение поверхности уровня и свойства этой поверхности. Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково, т.e. p=const, то dp=0 и из основного дифференциального уравнения гидростатики (52) получим:

Так как плотность то:

где X, Y и Z — функции координат.

Уравнение (56) представляет собой дифференциальное уравнение поверхности, для которой p = const, т. е. уравнение поверхности уровня.

Составим уравнение поверхности уровня, учитывая, что для данного случая равновесия жидкости величины X, Y и Z, входящие в общее дифференциальное уравнение поверхности уровня (56), будут равны соответственно:

где gx, gy, gz — проекции ускорения g по координатным осям.

Подставляя значения (58) в уравнение (56), получим дифференциальное уравнение поверхности уровня для рассматриваемых условий:

Интегрируя уравнение (59), находим:

Так как C=const — произвольная постоянная, то это уравнение будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей (параллельных осям 0х и 0у).

Итак, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость.

Пусть, например, резервуар заполнен водой или иной жидкостью (Рис. 2.7, а).

Рис. 9 Поверхности уровня

Так как во всех точках свободной поверхности гидростатическое давление одинаково и равно атмосферному, то свободная поверхность жидкости будет поверхностью уровня и, следовательно, будет горизонтальной плоскостью.

Проведем произвольную горизонтальную плоскость n—n. Эта плоскость также будет поверхностью уровня, и, следовательно, во всех точках этой плоскости давление будет одинаковым (что справедливо и для любой плоскости n1 —n1).

Так как плоскости n—n и свободной поверхности параллельны между собой, то все точки плоскости n—n находятся на одной и той же глубине. Следовательно, величина гидростатического давления зависит только от глубины точки погружения и на одинаковой глубине гидростатическое давление в любой точке будет одним и тем же.

Распределение гидростатического давления. Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гидростатики (52).

В случае равновесия жидкости в поле земного тяготения основное уравнение имеет вид:

Но произведение где — удельный вес данной жидкости.

Делая подстановку и деля обе части уравнения (61) на, перепишем его в следующем виде:

и, интегрируя, найдём (при).

Чтобы определить постоянную интегрирования С, рассмотрим резервуар, наполненный водой (рис. 10), со свободной поверхностью (атмосферное давление).

Рис. 10 К определению постоянной интегрирования

Тогда для точки A, лежащей на поверхности, р=р0 и z=z0. Подставляя эти значения в (63), находим, что произвольная постоянная интегрирования:

и уравнение (63) запишется в виде:

или:

Уравнение (66) называют основным уравнением гидростатики.

Рассмотрим уравнение (66) более подробно.

Все слагаемые, входящие в него, имеют линейную размерность: z и zo — координаты свободной поверхности и произвольной точки М, т.e. высоты расположения свободной поверхности и точки М; ро/ и р/ — высоты, соответствующие гидростатическому давлению на поверхности ро и p в точке M.

Постоянная интегрирования C имеет также линейную размерность; обозначим ее через H.

Величины z и р/ часто называют в гидравлике геометрической и пьезометрической высотами, тогда Н как сумма двух высот будет также высотой — ее называют гидростатическим напором. Согласно рис. 10, величина Н представляет собой ординату горизонтальной плоскости, именуемой плоскостью гидростатического напора. Эта плоскость расположена выше плоскости свободной поверхности на высоту ро/.

Измерение давления в данной точке. Гидростатическое давление более удобно вычислять по формуле (66). Так как разность (zo-z) представляет собой глубину h погружения данной точки под уровень свободной поверхности, то можно написать уравнение (66) в виде:

Именно в такой записи и используют это уравнение для вычисления гидростатического давления.

Закон Паскаля. Из уравнения (67) видно, что в любой точке жидкости (на любой глубине h) гидростатическое давление р зависит от величины внешнего давления ро на свободной поверхности. При увеличении внешнего давления точно на ту же величину увеличится и давление в данной точке. Таким образом, жидкость обладает свойством передавать внешнее давление всем расположенным внутри ее частицам жидкости без изменения. B этом заключается закон Паскаля.