Нормальное распределение. 
Теория вероятностей

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание

Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью распределения на отрезке. Разобьём этот отрезок на частичных отрезков длиной и выберем в каждом из них произвольную точку. Определим математическое ожидание непрерывной случайной величины по аналогии с дискретной. Составим сумму произведений возможных значений на вероятности попадания их в интервал: .

Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частных отрезков, получим определенный интеграл.

.

Если возможные значения принадлежат всей оси, то.

.

При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно (конечен, ограничен), т. е. существует интеграл .

По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения принадлежат отрезку, то.

.

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то.

.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для дискретной величины, равенством.

Замечание 2. Легко получить, что.

.

Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, распределенной равномерно в интервале .

Решение. Найдем математическое ожидание по формуле.

.

учитывая, что плотность равномерного распределения.

:

Найдем дисперсию по формуле.