Главные оси и главные моменты инерции

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рис. 3.5, б легко установить, что.

u = y sin + x cos; v = y cos x sin. (3.10).

Из выражений:

с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

(3.11).

Складывая первые два уравнения, получим:

Iu + Iv = Ix + Iy = I, (3.12).

где; I полярный момент инерции сечения, величина которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.

Дифференцируя в (3.11) выражение Iu по и приравнивая его нулю, находим значение = 0, при котором функция Iu принимает экстремальное значение:

. (3.13).

С учетом (3.12) можно утверждать, что при = 0 один из осевых моментов Iu или Iv будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при = 0 Iuv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11).

Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют вид:

. (3.14).

В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей x и y ix и iy, соответственно, которые определяются по формулам:

. (3.15).