Развитие теоремы. 
Теория и ряд Котельникова. 
Теорема Котельникова

Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов. Так, вместо кардинального ряда по функциям sinc, являющимся характеристическими функциями прямоугольных импульсов, можно использовать ряды по конечноили бесконечнократным свёрткам функций sinc. Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции с финитным спектром на основе преобразований Фурье атомарных функций:

где параметры удовлетворяют неравенству.

.

а интервал дискретизации.

Теория и ряд Котельникова и их применение

Авномерная дискретизация.

Спектр дискретного сигнала. Допустим, что для обработки задается произвольный аналоговый сигнал s (t), имеющий конечный и достаточно компактный фурье-образ S (f). Равномерная дискретизация непрерывного сигнала s (t) с частотой F (шаг t = 1/F) с математических позиций означает умножение функции s (t) на гребневую функцию Ш_?t(t) =(t-kt) — непрерывную последовательность импульсов Кронекера:

s_Dt(t) = s (t)Ш_Dt(t) = s (t)d (t-kDt) =s (kDt)d (t-kDt). (7.2.1).

С учетом известного преобразования Фурье гребневой функции.

Ш_Dt(t) Ы (1/T)d (f-nF) = F· Ш_F(f), (7.2.2).

фурье-образ дискретной функции S_F(f):

S_F(f) = S (f) _* FШ_F(f). (7.2.3).

Отсюда, для спектра дискретного сигнала имеем:

S_F(f) = FS (f) _*d (f-nF) = FS (f-nF). (7.2.4).

Из выражения следует, что спектр дискретного сигнала представляет собой непрерывную периодическую функцию с периодом F, совпадающую (при определенных условиях конечности спектра непрерывного сигнала) с функцией FS (f) непрерывного сигнала s (t) в пределах центрального периода от — отf_N до f_N, где f_N = ½t = F/2. Частоту f_N (или для круговой частоты) называют частотой Найквиста. Центральный период функции S_F(f) называют главным частотным диапазоном.

Интуитивно понятно, что если спектр главного частотного диапазона с точностью до постоянного множителя совпадает со спектром непрерывного сигнала, то по этому спектру может быть восстановлена не только форма дискретного сигнала, но и форма исходного непрерывного сигнала. При этом шаг дискретизации и соответствующее ему значение частоты Найквиста должны иметь определяющее значение.

Как правило, шаг дискретизации сигнала (шаг числовых массивов) условно принимают равным t = 1, при этом главный частотный диапазон занимает интервал -0.5 f 0.5, или, в шкале угловых частотсоответственно.

Физическая сущность формирования спектров дискретных сигналов достаточно проста. Наиболее наглядно это можно увидеть, если воспользоваться программой Mathcad (см. рис. 7.2.1).

Рис. 7.2.1 Формирование спектра дискретного сигнала.

Сначала представим себе непрерывный сигнал постоянной единичной амплитуды c (t) = const = 1 на произвольном интервале 0-Т, например, при Т=100. Начнем дискретизировать сигнал с равномерным шагом t=1. Вычислим спектр первого дискретного отсчета c₀ = 1. При N=1 сигнал является импульсом Кронекера, а, соответственно, модуль спектра отсчета с₀=1 представляет собой непрерывное частотное распределение С = const в диапазоне от — до + (показан только участок от -6 до +6 с нормировкой на N для наглядности сравнения спектров). Все частоты сигнала имеют нулевую фазу и при сложении взаимно компенсируются во всех временных точках за исключением точки t=0, в которой амплитуды частот суммируются, создавая единичный отсчет с₀.

Добавим к сигналу второй дискретный отсчет с₁=1 (N=2). Если вычислить спектр только второго отсчета, то его модуль будет равен модулю первого отсчета (так как с₁=с₀), но нулевые фазы гармоник этого спектра переместятся в точку t=1, т. е. относительно точки t=0 фазы гармоник второго отсчета изменятся на — t в соответствии с теоремой запаздывания преобразования Фурье. При сложении этих двух спектров первого и второго отсчета наблюдается интерференция частот и возникают пульсации частотного спектра с максимумами на частотах, кратных F=1/?t или в угловых единицах 2/t, где фазы спектров первого и второго отсчетов совпадают и равны нулю. Форма модуля результирующего спектра при N=2 приведена на рисунке.

При дальнейшем увеличении количества отсчетов периодичность совпадения нулевых фаз и положения максимумов сохраняется, а интерференция частот между максимумами усложняется, при этом ширина главных пиков по всему частотному диапазону спектра от минус до плюс бесконечности становится все уже. На рис. 7.2.1 приведены примеры спектров сигналов при N=10 и N=50. В пределе, при двусторонней временной шкале ±Т ± и N, гребневая функция из импульсов Кронекера во временной области c_t Ш_?t(t) =(t-kt) превращается в идеальную гребневую функцию (1/T)(f-nF) = F· Ш_F(f) в частотной области (формула 7.2.2). Этот спектр непрерывен и физически реален в диапазоне частот от — до +.

Физический смысл интерференции частот остается тем же самым, если мы на произвольном интервале Т зададим произвольный сигнал, например — синусоиду u (t) U (f), и выполним его дискретизацию, т. е. умножим сигнал на непрерывную последовательность импульсов Кронекера c (t)u (t) u (t)(t-kt) = u (t) Ш_t(t). А так как каждый дискретный отсчет в этом случае имеет свою определенную амплитуду и, соответственно, свой уровень амплитуд гармоник своего спектра, то сложение частот дает более сложную картину интерференции с расщеплением спектра общего сигнала всех дискретных отсчетов на две зеркальных составляющих относительно кратных частот 2/t.

Рис. 7.2.2 Формирование спектра дискретного сигнала.

Математически произведение двух функций во временной области отображается сверткой спектров этих функций в частотном представлении, т. е. сверткой спектра сигнала u (t) с частотной гребневой функцией спектра, порожденной временной гребневой функцией дискретизации u (t)Ш_?t(t) U (f) _* FШ_F(f), откуда и следует формула (7.2.4). Пример дискретизации одного периода синусоиды приведен на рис. 7.2.2.

Вернемся к значению и роли частоты Найквиста при дискретизации сигналов.

На рис. 7.2.3 и 7.2.4. приведены примеры равномерной дискретизации аналоговых сигналов s₁(t) = exp (-a|t|) и s₂(t) = exp (-bt²) (дискретные отсчеты нанесены кружками) и спектры этих дискретных сигналов.

Рис. 7.2.3 Дискретные сигналы. Рис. 7.2.4 Спектры дискретных сигналов.

Для того чтобы периодическое повторение спектра, вызванное дискретизацией аналогового сигнала, не изменяло спектр в главном частотном диапазоне (по отношению к спектру исходного аналогового сигнала), необходимо и достаточно, чтобы максимальные частотные составляющие f_max в спектре аналогового сигнала не превышали частоты Найквиста (f_max f_N = F/2). Это означает, что частота дискретизации сигнала должна быть минимум в два раза выше максимальной частотной составляющей в спектре сигнала:

F = 1/t 2f_max (7.2.5).

что обеспечивает выход спектра на нулевые значения на концах главного диапазона, как это имеет место для спектра S₂(?) на рис. 7.2.4.

Другими словами, на одном периоде колебаний с частотой f_max должно быть минимум две точки отсчета. Это и понятно — по одной точке отсчета на периоде гармонического сигнала определение неизвестных параметров данной гармоники (амплитуда, фаза) невозможно.

Если условие (7.2.5) нарушается, искажения частотного спектра исходного аналогового сигнала неизбежны. На рис. 7.2.4 наглядно видно, что частота дискретизации для сигнала s₁(t) данному условию не удовлетворяет, спектры периодов перекрылись, и результирующий спектр дискретных отсчетов сигнала s₁(t) отличается от фактического спектра сигнала (фактический спектр и его периодические повторения в области перекрытия спектра главного частотного диапазона со спектрами боковых диапазонов показаны пунктиром). Аналоговый сигнал из спектра S₁(?) будет восстановлен с искажениями.

Характер возникающих искажений во временной области при нарушении условия (7.2.5) можно наглядно видеть на рис. 7.2.5. На рисунке показаны три возможных варианта соотношения частот гармонических сигналов с постоянной частотой их дискретизации.

• 1. График, А — частота гармонического сигнала меньше частоты Найквиста. Дискретным отсчетам может соответствовать только исходная гармоника, амплитуда, частота и фаза которой могут быть однозначно определены по любым трем последовательным точкам (три уравнения, три неизвестных).
• 2. График В — частота гармонического сигнала равна частоте Найквиста. Это означает периодическое повторение каждой пары последовательных отсчетов, а, следовательно, для решения имеется только два уравнения с тремя неизвестными с возможностью определения только частоты, и то при условии, что начальная фаза сигнала не совпадает с начальной фазой частоты дискретизации (в этом случае все отсчеты нулевые). Амплитуда и фаза сигнала определяются однозначно только при условии совпадения отсчетов с экстремумами гармоники.

Рис. 7.2.5 Дискретизация гармоник с разной частотой.

3. График С — частота гармонического сигнала больше частоты Найквиста. Решение трех уравнений по трем последовательным точкам позволяет определить амплитуду гармоники, но дает искаженные значения частоты и фазы колебания (показано пунктиром). Это так называемый эффект появления ложных (кажущихся) частот (aliasing). Частоты гармонических колебаний выше частоты Найквиста как бы зеркально «отражаются» в главный частотный диапазон от его границ (на частоте Найквиста), что можно видеть на рис. 7.2.4 для действительного спектра сигнала S1, показанного точками. Этот эффект аналогичен всем известному эффекту обратного вращения колес автомобиля (и любых других быстро вращающихся объектов) на экранах кино и телевизоров, когда скорость их вращения начинает превышать частоту смены кадров.

Интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона. Спектр дискретизированного сигнала (7.2.4) представляет собой сумму сдвинутых копий исходного аналогового сигнала с шагом сдвига, равным частоте дискретизации. Очевидно, что если спектры копий не перекрываются, то по центральной копии дискретного спектра можно восстановить исходный аналоговый сигнал с абсолютной точностью. Умножая функцию (7.2.3) на прямоугольную весовую функцию П_F(f), равную 1 в пределах главного частотного диапазона [-F/2,F/2] и нулю за его пределами, получаем непрерывный спектр в бесконечных по частоте границах, равный спектру FS (f) в пределах главного частотного диапазона:

FS (f) = F[S (f) _* Ш_F(f)]П_F(f). (7.2.6).

Обратное преобразование Фурье такого спектра должно давать конечный и непрерывный сигнал. Произведем обратное преобразование обеих частей равенства (7.2.6):

F· [S (f) _* Ш_F(f)]—Ы s_Dt(t), П_F(f)—Ы Fsinc (pFt).

Fs (t) = s_Dt(t) _* Fsinc (pFt).

s (t) = sinc (pFt) _*s (kDt)d (t-kDt),.

Дискретизированный сигнал представляет собой сумму последовательных весовых импульсов Кронекера, сдвинутых на интервал t, со значениями веса, равными значениям отсчетов функции s (t) в моменты kt. При прохождении такого сигнала через систему с импульсным откликом h (t)= sinc (Ft)= sin (Ft)/Ft каждый весовой импульс Кронекера возбудит на выходе соответствующую последовательную серию сдвинутых и масштабированных копий оператора фильтра. Отсюда, с учетом очевидного равенства.

выходной сигнал будет представлять собой сумму сдвинутых весовых импульсных откликов системы, где значение веса определяется отсчетами дискретного сигнала:

s (t)=s (kDt) sinc[pF (t-kDt)] =s (kDt) sinc[p (t/Dt-k)]. (7.2.7).

Эта конечная формула носит название интерполяционного ряда Котельникова-Шеннона. Из нее следует, что если наибольшая частота в спектре произвольной непрерывной функции s (t) не превышает частоты ее дискретизации, то она без потери точности может быть представлена в виде числовой последовательности дискретных значений s (k?t), k = 0,1,2,…, и однозначно восстановлена по этой последовательности. В этом и состоит сущность теоремы отсчетов Котельникова. В зарубежной литературе она называется также теоремой Шеннона или теоремой дискретизации (sampling teorem).

Академик В. А. Котельников, 1908;2005. Крупнейший ученый в области радиотехники, радиофизики и информатики. Окончил Московский энергетический институт в 1931 году. С 1931 г. по 1941 г. преподает в МЭИ и ведет научную работу в ЦНИИ связи. В 1933 г. формулирует знаменитую теорему отсчетов, которая носит его имя. В период Великой Отечественной войны (1941;1945 гг.) работал над созданием специальной аппаратуры связи. С 1948 г. по 1953 г. директор и главный конструктор ОКБ МЭИ. В 1953 году избран академиком АН СССР. С 1954 года — директор Института радиотехники и электроники АН СССР. Занимался теорией помехоустойчивой радиосвязи и радиолокации, радиолокационным исследованием планет. Лауреат Ленинской премии, дважды лауреат Государственной премии СССР. Дважды удостоен звания Героя Социалистического труда, награжден шестью орденами Ленина, орденом «За заслуги перед Отечеством» I степени.

По существу, ряд (7.2.7) представляет собой частный случай разложения сигнала в соответствии с формулой (7.1.2) по системе ортогональных функций интегрального синуса образующих базис пространства сигналов s (t). Для проверки ортогональности достаточно вычислить скалярное произведение базисных функций:

v (t, nDt) v (t, mDt) dt = .

Разложение (7.2.7) проще и понятнее, чем разложение в ряды Фурье, что можно видеть на рис. 7.2.6. Вес каждой функции отсчетов sinc[?F (t-k?t)] формирует пиковое значение интегрального синуса в каждой текущей точке t= k? t, равное значению сигнала s (k?t), при этом во всех остальных точках дискретных отсчетов sinc[?F (t-(k±j)?t))], j= 1,2,… значения интегрального синуса равны нулю. Ряд числовых значений интегрального синуса для дискретных значений t= n? t при суммировании по k полностью эквивалентен гребневой функции:

sinc[pF (nDt-kDt)] Ш_Dt(t).

Однако, в отличие от гребневой функции, в интервале между дискретными отсчетами интегральный синус имеет не нулевые, а определенные осциллирующие значения. Суперпозицией этих значений по текущим значениям t от всех интегральных синусов, осцилляции которых доходят до данного значения t, и образуются значения аналогового сигнала в интервалах между отсчетами.

Рис. 7.2.6 Восстановление непрерывного сигнала по дискретным отсчетам.

Рис. 7.2.7, 7.2.8 Изменение масштаба при восстановлении аналоговой функции.

В принципе, функции отсчетов имеют бесконечные осцилляции, и восстанавливают аналоговый сигнал, бесконечный по аргументу. Амплитуда осцилляций функций отсчетов затухает достаточно медленно (см. рис. 7.2.7). Однако на рис. 7.2.6 нетрудно заметить, что, в силу знакопеременности функций отсчетов по интервалам дискретизации, осцилляции восстанавливаемых кривых с финитным спектром затухают достаточно быстро, и для данных без существенных выбросов и больших перепадов значений определяются, в основном, отсчетами, ближайшими к интерполируемому интервалу. Это позволяет ограничивать интервал суммирования в формуле (2.5.7) определенными окрестностями текущих точек интерполяции.

Рис. 7.2.9. Интерполяция по Котельникову-Шеннону.

Ряд (7.2.7) позволяет простым введением масштабного множителя в аргумент интегрального синуса изменять представление сигнала на временной оси, растягивать или сжимать сигнал:

s (t) =s (kDt) Ч sinc[pF (mt-kDt)].

По аналогичной формуле может выполняться пересчет дискретных данных на другой интервал дискретизации:

s (n· Dt_new) = s (kDt) Ч sinc[pF (n· Dt_new-kDt)].

Примеры восстановления аналоговой формы произвольного финитного сигнала и изменения шага дискретизации данных приведены на рис. 7.2.9.

На рис. 7.2.10 приведено моделирование дискретизации аналогового сигнала, влияние наложение спектров боковых периодов на спектр главного диапазона дискретного сигнала и восстановление из этого спектра аналоговой формы сигнала.

Рис. 7.2.10 Моделирование дискретизации аналогового сигнала.

Графики, А и Б рисунка — модельный аналоговый сигнал, точки его дискретизации и модуль спектра дискретного сигнала. Вычисление спектра выполнено быстрым преобразованием Фурье (БПФ) и отображает, соответственно, частотный диапазон 0−2f_N. Дискретизация выполнена корректно, с выполнением условия (7.2.5), о чем можно судить и по спектру дискретного сигнала (график Б, выход на незначимые значения к частоте Найквиста f_N).

Кривая S1 на графике В — спектр модельного дискретного сигнала при нарушении условия (7.2.5). В данном случае это произойдет при увеличении шага дискретизации в 2 раза, что вызовет уменьшение в 2 раза новой частоты Найквиста и перемещение границы главного диапазона на отметку 0.5f_N на графике Б, при этом произойдет перекрытие спектров поддиапазонов. На графике приведены кривые S1a и S1b, которые являются раздельными спектрами правой половины главного диапазона без сложения со спектром правого бокового диапазона (интервал 0−2f_N, где f_N — частота Найквиста новой дискретизации), и левой половины правого бокового диапазона на том же интервале 0−2f_N без сложения со спектром главного диапазона. Хорошо видны «хвосты» спектров, выходящие за границы интервала Найквиста от центров диапазонов и заходящие в соседние диапазоны. Сложением этих спектров в интервале 0−2f_N нетрудно убедиться, что полученный результат будет полностью соответствовать спектру S1 новой дискретизации исходного сигнала. Обратим внимание, что сложение спектров рядом расположенных диапазонов может вызывать не только увеличение высокочастотных составляющих (как это можно было видеть на рис. 7.2.4 — спектр S1), ни и их взаимную компенсацию, как имеет место для спектра S1 в данном случае (кривая точками на графике В).

Перекрытие спектров диапазонов вызовет искажение аналоговой формы сигнала, восстановленного из его дискретных отсчетов, что можно видеть на графике Г — кривая s2. В данном случае, при частичной взаимной компенсации перекрывающихся частей спектров, наиболее сильное искажение произошло во второй, высокочастотной части сигнала.

Дискретизируемые сигналы, как правило, содержат широкополосные шумы, высокочастотные составляющие которых неизбежно перекрываются при периодизации спектра, и увеличивают погрешность восстановления сигналов. Для исключения этого фактора перед проведением дискретизации должно быть обеспечено подавление всех частот выше частоты Найквиста, т. е. выполнена низкочастотная фильтрация сигнала. Если последнее не проведено, то при дискретизации целесообразно в 2−4 раза уменьшить интервал дискретизации относительно оптимального и первой операцией обработки данных выполнить низкочастотную цифровую фильтрацию, после чего можно провести децимацию данных.

Увеличение интервала дискретизации сигналов является довольно распространенной операцией при цифровой обработке данных, и не только при подготовке данных для хранения с целью сокращения их количества. При комплексной обработке данных различной природы интервалы дискретизации этих данных могут оказаться различными, и производится их приведение к одному значению. Аналогичная операция выполняется, как правило, и при создании многослойных информационных пакетов. В таких случаях снижение частоты дискретизации каких-либо данных является вынужденной необходимостью даже с потерей части высокочастотных составляющих информации. Предварительное отфильтровывание отбрасываемых данных перед децимацией (для исключения их попадания в главный частотный диапазон и искажения основной информации) в этом случае является обязательным, особенно при достаточно высокой энергии этих составляющих сигнала. Пример такой децимации приведен на рис. 7.2.10 на графиках В и Г — спектр S2(f) децимированных данных и аналоговый сигнал s3(t), восстановленный по дискретным отсчетам sd (k?t) - S2(f). Децимация выполнена непосредственно в частотной области путем смыкания на частотной части 0−0.5f_N спектра SM (f) исходного сигнала sm (m?m) с сопряженной частью на интервале 1.5f_N— f_N, что сокращает новый интервал Найквиста в 2 раза и формирует спектр S2(f), соответствующий дискретному сигналу с увеличенным в два раза интервалом дискретизации данных с полностью подавленной частью спектральных составляющих от 0.5f_N до 1.5f_N. Такой метод может применяться для децимации (передискретизации) данных с любой кратностью.

Дискретизация с усреднением. Если дискретизация сигнала производится импульсами конечной ширины, то таким импульсам соответствуют средние значения сигнала на интервале длительности импульсов. При длительности импульсов r имеем:

s (kDt) = (1/r)s (t) dt. (7.2.8).

С использованием селектирующей и гребневой функций эта операция отображается следующим образом:

s_Dt(t) = (1/r)[s (t) _* П_r(t)]Ш_Dt(t). (7.2.9).

Соответственно спектр дискретной функции:

S_F(f) = [S (f)sinc (pfr)] _* FШ_F(f). (7.2.10).

Отсюда следует, что при дискретизации с усреднением спектр S (f) заменяется спектром S (f)sinc (fr), периодическое продолжение которого и образует спектр дискретной функции. При обратном преобразовании Фурье и при использовании интерполяционной формулы Котельникова-Шеннона, вместо исходной функции s (t) получаем функцию s'(t) = s (t) _* П_r(t)/r, что эквивалентно пропусканию сигнала через фильтр с откликом h (t) = П_r(t)/r, т. е. через низкочастотный сглаживающий фильтр «скользящего» среднего с окном r.

Для этих условий частотная передаточная функция фильтра записывается в следующем виде: H (f) = sinс (f/f_max). Если потеря составляющих сигнала на всех частотах не должна превышать 3%, отсюда следует, что значение должно быть равно 0.27, т. е. ширина импульса дискретизации может составлять до 27% интервала дискретизации.

Отметим, что в выражении (7.2.8) значения отсчетов относится к центру интервалов r импульсов дискретизации. Если отсчет будет относиться к концу интервалов r, что имеет место при обработке информации в режиме реального времени, то в выходной функции (7.2.9) появится сдвиг на интервал r/2, а в ее спектре соответственно сдвиг фаз на r/2 (в правой части выражения (7.2.10) добавится множитель exp (-jfr)).