ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚
АнтистрСссовый сСрвис

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

Π’. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Рассмотрим Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. А. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Рассмотрим Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, приводящимся ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ, называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°. РСшСниС. ИмССм. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ (ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ = 0). И — ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния (1… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, приводящимся ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ, называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ u = y? y0, v = x? x0 это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ приводится ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ x0 ΠΈ y0 — СдинствСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ приводится ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹: a1 x + b1 y + c1, a2 x + b2 y + c2, ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ: a1 x + b1 y + c1 > t (a1 x + b1 y + c1); a2 x + b2 y + c2 > t (a2 x + b2 y + c2) Если послС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ t ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ится, Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ приводится ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ.

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ I ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΊΠ° называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°:

(1),.

Π³Π΄Π΅ — нСизвСстная функция Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1) Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ .

Если, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1) ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄: (2), ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1) называСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2) называСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ (1).

А. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Рассмотрим Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

(2).

Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

.(3).

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΈΠ»ΠΈ.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.
УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

замСняСм на.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ любоС число, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ нуля. ПолоТим .

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

— ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ постоянная (4). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, которая являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния (2). Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ содСрТало Π±Ρ‹ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

(5),.

Π³Π΄Π΅ Π‘ — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ постоянная, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ значСния.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния .

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.
УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

РСшСниС. ИмССм. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ (ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ = 0). И — ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

Π’. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Рассмотрим Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

(1).

Для Π΅Π³ΠΎ интСгрирования ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ постоянной. ПолоТим.

(6).

(6).

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ищСтся Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, Π½ΠΎ Π²ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ постоянной стоит функция — новая нСизвСстная функция. Для Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ подставляСм y, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ (6), Π² (1).

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

ΠΈΠ»ΠΈ .

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.
УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

.(7).

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния (1). Оно содСрТит всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠžΡΠΎΠ±Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚.

Рассмотрим вопрос ΠΎΠ± ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ частного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния (1), ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. РСшСниСм Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Коши слуТит функция:

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

.(9).

ЗамСчания:

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (9) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅, Ссли ввСсти ΠΏΠΎΠ΄ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»:

(10).

(10).

Если Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (10) ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ постоянной (ΠΏΡ€ΠΈ этом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π·Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅), Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (10) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния (1).

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (10) Π½Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚. Надо ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ способ получСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (7).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

Найти ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.
УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.
УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

РСшСниС. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ. Вычислим (Π‘ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ = 0).

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.
УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

ПолоТим. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, Ρ‚ΠΎ .

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° .

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

Найти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ .

РСшСниС.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ .

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.
УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.
УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.
УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ .

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

НайдСм ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ условия: .

Частным Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚.

УравнСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡˆΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.

.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° (ΠΎ ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния)

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния состоит ΠΈΠ· ΡΡƒΠΌΠΌΡ‹: ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ частного Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ