ΠΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠΎΡΡΠ°ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠΈ β ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΠΠ΅ΠΎΠ½ΡΡΠ΅Π²Π°
ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 2. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡΡΠ΅Ρ Π²ΡΠΏΡΡΠΊ Π΄Π²ΡΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ: I ΠΈ II. ΠΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΡΡΡΡ: A, B ΠΈ C. ΠΠΎΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎΡΡΡ aij Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ j-Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ i-Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΡΡΡΡ, Π·Π°ΠΏΠ°Ρ bi ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΡΡΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±ΡΠ»Ρ cj ΠΎΡ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ j-Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ: ΠΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠΎΡΡΠ°ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠΈ β ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΠΠ΅ΠΎΠ½ΡΡΠ΅Π²Π° (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠΈΠ½ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π½Π°ΡΠΊΠΈ Π ΠΎΡΡΠΈΠΉΡΠΊΠΎΠΉ Π€Π΅Π΄Π΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π€Π΅Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π³ΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π±ΡΠ΄ΠΆΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
«ΠΠΈΠΆΠ΅Π³ΠΎΡΠΎΠ΄ΡΠΊΠΈΠΉ Π³ΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅Ρ ΠΈΠΌ. Π.Π. ΠΠΎΠ±Π°ΡΠ΅Π²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ»
Π‘ΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ «ΠΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΌΡΠ½ΠΈΡΠΈΠΏΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅»
ΠΠΠΠ’Π ΠΠΠ¬ΠΠΠ― Π ΠΠΠΠ’Π ΠΏΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Π΅: ΠΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ-ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ» ΡΡΡΠ΄Π΅Π½Ρ 2 ΠΊΡΡΡΠ° Π·Π°ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³. Π¨Π°Ρ ΡΠ½ΡΡ
2013 Π³.
ΠΠΠΠΠΠΠ № 1
ΠΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠΎΡΡΠ°ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠΈ — ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΠΠ΅ΠΎΠ½ΡΡΠ΅Π²Π°.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 1. ΠΠ°Π½Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ aij ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ Yi Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΡ ΠΎΡΡΠ°ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅.
1. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π°Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠΏΡΡΠΊΠ°, ΠΌΠ΅ΠΆΠΎΡΡΠ°ΡΠ»Π΅Π²ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΊΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ;
2. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ;
3. Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠΎΡΡΠ°ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π°Π»Π°Π½ΡΠ°.
4. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠΎΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ.
ΠΡΡΠ°ΡΠ»Ρ | ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ aij | ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ Yi | ||
0,1*m | 0,1 | |||
0,3 | 0,1*n | 500+100*n | ||
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ° m = 4, n = 4, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΡΡΠ°ΡΠ»Ρ | ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ aij | ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ Yi | ||
0,4 | 0,1 | |||
0,3 | 0,4 | |||
ΠΠ· ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
0,4 0,1 1000
Π= 0,3 0,4, Y= 900 .
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ:
ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ:
Π ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ²:
Π Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:
Π ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΡΡ Π΅ΠΉ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
Π§ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ — ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ:
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌ <1, ΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ.
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π°Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠΏΡΡΠΊΠ°:
ΠΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 6 ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΡΠΊΡΠ΄Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ:
ΠΠ΅ΠΆΠΎΡΡΠ°ΡΠ»Π΅Π²ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΊΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
Π ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠΎΡΡΠ°ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π°Π»Π°Π½ΡΠ° Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΡΡΠ°ΡΠ»Ρ | ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ aij | ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ Yi | ΠΠ°Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π²ΡΠΏΡΡΠΊ | ||
0,3 | 0,1 | 2090,909 | |||
0,3 | 0,4 | 2545,454 | |||
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠΎΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π°ΡΡΠ°Ρ:
ΠΠΠΠΠΠΠ № 2
ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 2. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡΡΠ΅Ρ Π²ΡΠΏΡΡΠΊ Π΄Π²ΡΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ: I ΠΈ II. ΠΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΡΡΡΡ: A, B ΠΈ C. ΠΠΎΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎΡΡΡ aij Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ j-Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ i-Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΡΡΡΡ, Π·Π°ΠΏΠ°Ρ bi ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΡΡΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±ΡΠ»Ρ cj ΠΎΡ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ j-Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ:
ΠΠΈΠ΄ ΡΡΡΡΡ | ΠΠΈΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ | ΠΠ°ΠΏΠ°Ρ ΡΡΡΡΡ | ||
I | II | |||
A | a11=n | a12=2 | b1=mn + 5n | |
B | a21=1 | a22=1 | b2=m + n +3 | |
C | a31=2 | a32=m+1 | b3=mn+4m+n+4 | |
ΠΡΠΈΠ±ΡΠ»Ρ | c1=m+2 | c2=n+1 | ||
ΠΠ»Π°Π½ (Π΅Π΄.) | x1 | x2 | ||
Π·Π°ΡΡΠ°ΡΠ° ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ excel
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΠΈΠ΄ ΡΡΡΡΡ | ΠΠΈΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ | ΠΠ°ΠΏΠ°Ρ ΡΡΡΡΡ | ||
I | II | |||
A | ||||
B | ||||
C | ||||
ΠΡΠΈΠ±ΡΠ»Ρ | ||||
ΠΠ»Π°Π½ (Π΅Π΄.) | x1 | x2 | ||
Π¦Π΅Π»Π΅Π²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:
Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ:
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΠΎΠΌ «ΠΏΠΎΠΈΡΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ» Π² ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅ MS Excel, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ F (X) = 6×1 + 5×2 ΠΏΡΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ -ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
4x1 + 2×2?36
x1 + x2?11
2x1 + 5×2?40
x1 + x2?4
ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ»Π°Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ (ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅).
4x1 + 2×2 + 1×3 + 0×4 + 0×5 + 0×6 = 36
1x1 + 1×2 + 0×3 + 1×4 + 0×5 + 0×6 = 11
2x1 + 5×2 + 0×3 + 0×4 + 1×5 + 0×6 = 40
1x1 + 1×2 + 0×3 + 0×4 + 0×5−1×6 = 4
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ: Π² 4-ΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π΅ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ x7;
4x1 + 2×2 + 1×3 + 0×4 + 0×5 + 0×6 + 0×7 = 36
1x1 + 1×2 + 0×3 + 1×4 + 0×5 + 0×6 + 0×7 = 11
2x1 + 5×2 + 0×3 + 0×4 + 1×5 + 0×6 + 0×7 = 40
1x1 + 1×2 + 0×3 + 0×4 + 0×5−1×6 + 1×7 = 4
ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊ:
F (X) = 6×1+5×2 — Mx7 > max
ΠΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ:
x7 = 4-x1-x2+x6
ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ:
F (X) = (6+M)x1+(5+M)x2+(-M)x6+(-4M) > max
Π Π΅ΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ :
x3, x4, x5, x7,
ΠΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ 0, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½:
X1 = (0,0,36,11,40,0,4)
ΠΠ°Π·ΠΈΡ | B | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | |
x3 | |||||||||
x4 | |||||||||
x5 | |||||||||
x7 | — 1 | ||||||||
F (X0) | — 4M | — 6-M | — 5-M | M | |||||
Π’Π΅ΠΊΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»Π΅Π½, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ. Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x1, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Di ΠΏΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ: bi / ai1 ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅, 4-Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅ΠΉ. Π Π°Π·ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1 ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΈ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ.
ΠΠ°Π·ΠΈΡ | B | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | min | |
x3 | ||||||||||
x4 | ||||||||||
x5 | ||||||||||
x7 | — 1 | |||||||||
F (X1) | — 4M | — 6-M | — 5-M | M | ||||||
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΈΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ-ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ:
ΠΠ°Π·ΠΈΡ | B | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | |
x3 | — 2 | — 4 | |||||||
x4 | — 1 | ||||||||
x5 | — 2 | ||||||||
x1 | — 1 | ||||||||
F (X1) | — 6 | 6+M | |||||||
Π’Π΅ΠΊΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»Π΅Π½, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ. Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x6, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Di ΠΏΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ: bi / ai6 ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅, 1-Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅ΠΉ. Π Π°Π·ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 4 ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΈ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ.
ΠΠ°Π·ΠΈΡ | B | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | min | |
x3 | — 2 | — 4 | ||||||||
x4 | — 1 | |||||||||
x5 | — 2 | |||||||||
x1 | — 1 | ; | ||||||||
F (X2) | — 6 | 6+M | ||||||||
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΈΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ-ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ:
ΠΠ°Π·ΠΈΡ | B | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | |
x6 | — ½ | ¼ | — 1 | ||||||
x4 | ½ | — ¼ | |||||||
x5 | — ½ | ||||||||
x1 | ½ | ¼ | |||||||
F (X2) | — 2 | 11/2 | M | ||||||
ΠΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ № 2.
Π’Π΅ΠΊΡΡΠΈΠΉ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»Π΅Π½, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ. Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x2, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Di ΠΏΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ: bi / ai2 ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅, 2-Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅ΠΉ. Π Π°Π·ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ½ ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΈ Π²Π΅Π΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ.
ΠΠ°Π·ΠΈΡ | B | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | min | |
x6 | — ½ | ¼ | — 1 | ; | ||||||
x4 | ½ | — ¼ | ||||||||
x5 | — ½ | 51/2 | ||||||||
x1 | ½ | ¼ | ||||||||
F (X3) | — 2 | 11/2 | M | |||||||
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΈΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ-ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ:
ΠΠ°Π·ΠΈΡ | B | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | |
x6 | — 1 | ||||||||
x2 | — ½ | ||||||||
x5 | 11/2 | — 8 | |||||||
x1 | ½ | — 1 | |||||||
F (X3) | ½ | M | |||||||
ΠΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² — Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΈΡΠΊΡΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ (ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ), ΡΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΠΌ. ΠΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
x1 = 7
x2 = 4
F (X) = 5*4 + 6*7 = 62
ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π° ΡΡΡΠΈΡ ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ.
ΠΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ (Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π° ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ):
ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ a, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ΅Π»Π΅Π²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΎΡΡ a=62 Π΄Π»Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ x1 = 7 ΠΈ x2 = 4.
1. ΠΡΠ°ΡΡ Π. Π‘., Π§ΡΠΏΡΡΠ½ΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΡΠΎΠ². — Π‘ΠΠ±.: ΠΠΈΡΠ΅Ρ, 2004.
2. ΠΡΠ»ΠΎΠ²Π° Π. Π., ΠΠΎΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π. Π. ΠΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. — Π.: ΠΡΠ·ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ, 2009.
3. ΠΠ°ΠΌΠΊΠΎΠ² Π. Π. ΠΈ Π΄Ρ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π² ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠ΅. — Π.: ΠΠ΅Π»ΠΎ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡ, 2009.
4. Π¨Π°ΠΏΠΊΠΈΠ½ Π. Π‘. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. — Π.: «ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π0», 2006.