Выпуклые и вогнутые функции

В теории нелинейного программирования отдельно рассматриваются случаи, когда целевая функция и функции ограничений являются выпуклыми (или вогнутыми).

Функция называется выпуклой на некотором выпуклом множестве S, если для любых двух точек и соотношение выполняется для всех: .

Графический пример выпуклой функции изображен на следующем рисунке.

Рисунок 1.2 Графический пример выпуклой функции Функция называется вогнутой на некотором выпуклом множестве S" , если для любых двух точек и соотношение выполняется для всех: .

Графический пример вогнутой функции изображен на следующем рисунке.

Рисунок 1.3 Графический пример вогнутой функции Выделение именно данных классов функций связано в первую очередь с тем, что для них справедливы следующие теоремы:

Пусть рассматривается задача максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве S. Тогда любая точка локального максимума является и точкой глобального максимума.

Пусть рассматривается задача минимизации выпуклой функции на выпуклом множестве S. Тогда любая точка локального минимума является и точкой глобального минимума.

Далее я рассмотрю критерии выпуклости и вогнутости функций. Введу некоторые дополнительные определения.

Гессианом функции, называется матрица размером, на пересечениий строкиго столбца которой находится значение соответствующей смешанной производной второго порядка в точке, а именно:

Главным миноромго порядка квадратной матрицы размером называется значение любой подматрицы, полученной путем удаления из данной матрицы некоторых — строк и соответствующих (с теми же номерами) — столбцов.

Приведу без доказательства следующие теоремы, которые являются критериями выпуклости (вогнутости) для функций, имеющих непрерывные вторые производные:

Пусть функция, есть функция, определенная на некотором множестве S и имеющая на этом множестве непрерывные частные производные второго порядка. Тогда есть выпуклая функция на множестве S тогда и только тогда, когда все главные миноры Гессиана функции неотрицательны во всех точках множества S.

Пусть функция, есть функция, определенная на некотором множестве S и имеющая на этом множестве непрерывные частные производные второго порядка. Тогда есть вогнутая функция на множестве S тогда и только тогда, когда знак любого главного минораго порядка Гессиана функции совпадает со знаком выражения (-1) во всех точках множества S.

Для случая функции одной переменной приведенные теоремы принимают следующий вид:

Пусть функция имеет вторую производную во всех точках некоторого выпуклого множества S. Тогда функция является выпуклой функцией на множестве S тогда и только тогда, когда для всех точек множества S.

Пусть функция имеет вторую производную во всех точках некоторого выпуклого множества S. Тогда функция является вогнутой функцией на множестве S тогда и только тогда, когда для всех точек множества S.