Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Вспомним уравнение Эйлера для элементарной струйки идеальной жидкости:

Приведем систему уравнений к виду удобному для интегрирования, для чего умножим каждое из уравнений на dx, dy, dz и почленно сложим:

(1).

Первый трехчлен уравнения (1) является полным дифференциалом гидродинамического давления, отнесенным к единице плотности и равен:

Рассмотрим движение жидкости только под действием силы тяжести, тогда внешние массовые силы, заданные в виде проекций ускорений на соответствующие координатные оси, будут X=0, Y=0, Z=-g. Тогда второй трехчлен будет равным — gdz.

Первую часть уравнения (1) преобразуем зная, что перемещения соответственно равны: dx = Uxdt, dy = Uydt, dz = Uzdt.

Тогда:

где U — местная скорость в сечении струйки.

Подставляя в уравнение (1) полученные значения, запишем:

.

(2).

Если разделить уравнение (2) на g, получим уравнение, отнесенное к единице веса:

Поле интегрирования получим:

(3).

Выражение (3) было получено в 1738 г. академиком Российской Академии наук Д. Бернулли и названо уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости.

Для вывода уравнения Бернулли применительно к элементарной струйки вязкой жидкости рассмотрим его энергетический смысл. С этой целью подсчитаем механическую энергию бесконечно малой частицы массой dm с центром в т. А, находящейся в пределах элементарной струйки, относительно горизонтальной плоскости сравнения О1 — О1 (рис. 1).

Рис. 1

Как известно, потенциальная энергия равна:

Кинетическая энергия:

Полная механическая энергия состоит из суммы кинетической и потенциальной энергий:

Отнесем энергию к единице веса жидкости, т. е. определим удельную энергию:

Таким образом, получим выражение, которое является уравнением Бернулли и выражает закон сохранения энергии: вдоль элементарной струйки идеальной жидкости сумма потенциальной и кинетической энергии постоянная величина, т. е.

Сумма представляет собой потенциальную энергию, состоящую из удельной энергии положения z и удельной энергии давления. Выражение называется удельной кинетической энергией.

Вдоль элементарной струйки удельные кинетическая и потенциальная энергии могут изменяться, но их сумма остается постоянной.

При движении вязкой жидкости суммарная удельная энергия движущейся жидкости вдоль струйки убывает в силу различных гидравлических сопротивлений. Следовательно, для элементарной струйки вязкой жидкости, находящейся в установившемся движении:

Чтобы получить равенство левой и правой части, необходимо в правой части добавить дополнительный член hz, обозначающий затрату удельной энергии на преодоление сопротивлений при движении реальной вязкой жидкости в пределах между первым и вторым сечениями. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид:

Затрачиваемая на преодоление гидравлических сопротивлений часть энергии превращается из механической в тепловую, причем необратимо. В связи с этим можно считать потерянной удельной энергией.

Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости.

Перед тем, как записать уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости необходимо оговорить два момента. Поток жидкости отличается от элементарной струйки тем, что он имеет реальные размеры поперечного сечения, которые могут быть довольно значительных размеров. Распределение давлений и скоростей по сечению потока может быть неравномерным.

Рассмотрим распределение давления. В плоскости перпендикулярной направлению движения, гидродинамическое давление распределяется по закону гидростатики. В связи с этим справедливо условие:

т.е. сумма отметки z и пьезометрической высоты во всех точках сечения потока остается одинаковой, хотя меняется для различных сечений.

В связи с тем, что распределение местных скоростей U в плоскости сечения потока неравномерно и в большинстве случаев неизвестно, то возникают трудности с определением кинетической энергии потока, т. е. с третьим слагаемым в уравнении Бернулли. Поэтому вводим корректирующий коэффициент б, представляющий собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости в сечении. Корректив б называется коэффициентом кинетической энергии потока или коэффициентом Кориолиса, и отражает неравномерность распределения местных скоростей по сечению потока.

Для наиболее распространенных случаев движения жидкости значения б следующее: при ламинарном движении в круглой трубе б = 2, при турбулентном — зависит от режима и принимает значение б = 1,11,3. Обычно б определяют опытным путем.

С учетом вышесказанного, уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости может быть записано в виде:

где Uср1, и Uср2 — средние скорости в сечениях 1 и 2; - потери энергии на преодоление сопротивлений между сечениями 1 и 2.

Уравнение Бернулли устанавливает связь между скоростью движения, давления и геометрическим положением любой точки сечения потока, для которого это написано.

Рассмотрение энергетической и геометрической интерпретации уравнения Бернулли.

С энергетической точки зрения уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии и представляет удельную энергию, отнесенную к единице веса жидкости и подсчитанную относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости. Такая удельная энергия потока состоит из удельной потенциальной энергии:

.

где z — энергия положения, — энергия давления, и удельной кинетической энергии потока. С теоретической точки зрения потери энергии на преодоление сопротивления безвозвратно теряются для потока, т. е. часть механической энергии превращается в тепловую.

С геометрической точки зрения в уравнение Бернулли входят следующие линейные величины:

гидродинамический бернулли пьезометрический вязкий Рис. 2.

z — геометрическая высота положения (геометрический напор); или пьезометрическая высота, отвечающая гидродинамическому давлению р; в каждом сечении называется пьезометрическим (при р=ризб) или гидростатическим напором;

— скоростной напор;

0 — гидродинамический или полный напор;

— потеря напора на преодолении сопротивлений.

Геометрическое место точек верхних концов отрезка суммы называется пьезометрической линией Н (на рис. 2 показана штриховкой). Изменение пьезометрической линии на единицу длинны потока называется пьезометрическим уклоном ip.

Геометрическое место точек верхних концов отрезков суммы:

.

называется напорной линией или линией удельной энергии, Но (на рис. 2 показана сплошной линией), которая для потока идеальной жидкости т. е. без потерь энергии, будет горизонтальной. При движении вязкой жидкости изменение напорной линии на единицу длинны потока называется гидравлическим уклоном:

.