Анализ электрического состояния линейных электрических цепей переменного тока

Расчет однофазных линейных электрических цепей переменного тока

Задание К зажимам электрической цепи подключен источник синусоидального напряжения u = U_msin (щt +ц_u) В частотой f= 50 Гц. Выполнить следующее:

• 1) начертить схему замещения электрической цепи, соответствующую варианту, рассчитать реактивные сопротивления элементов цепи;
• 2) определить действующие значения токов во всех ветвях цепи;
• 3) записать уравнение мгновенного значения тока источника;
• 4) составить баланс активных и реактивных мощностей;
• 5) построить векторную диаграмму токов, совмещенную с топографической векторной диаграммой напряжений.

Исходная Схема.

Решение Найдем сопротивления реактивных элементов:

X_L1 = щL₁ = 2рfL₁ = 2· 3,14·50·159·10^-3 = 50 Ом.

X_L2 = щL₂ = 2рfL₂ = 2· 3,14·50·254,4·10^-3 = 80 Ом.

X_С1 = 1/щС₁ = ½рfС₁ = 1/(2· 3,14·50·63,5·10^-6) = 50 Ом.

X_С2 = 1/щС₂ = ½рfС₂ = 1/(2· 3,14·50·39,8·10^-6) = 80 Ом Расчёт токов в ветвях цепи выполняем методом эквивалентных преобразований.

Представим исходную схему, приведенную выше, в следующем виде:

Преобразованная схема.

Определим сопротивления каждой из ветвей цепи:

Z₁ =-jX_C2 = -80j = 80e-^90j° Ом.

Z₂ = jX_L2= 80j = 80e^90j° Ом.

Z₃ =-jX_С1= -50j = 50e-^90j° Ом.

Z₄ =R₂ = 100 = 100e^0j° Ом.

Z₅ =R₁+ jX_L1= 50 + 50j = 70,711e^45j° Ом Так как реактивные сопротивления катушек и конденсаторов при параллельном соединении равны (X_L1=X_C2), то в цепи наблюдается резонанс токов, следовательно цепь примет вид :

Z₃₄=Z₃+Z₄=100−50j=111,8^-26,6j° Oм.

Z_экв=Z₅*Z₃₄/(Z₅+Z₃₄)=70,711e^45j°*111,8e^-26,6j°/(100−50j+50+50j)=70,711e^45j°*111,8e^-26,6j°/150e^0j°=52,703e^18,4j° Ом Выразим действующее значение напряжений в комплексной форме:

U= U_М е ^јш /v2=540/v2*e^-45j°=381.83e^-45j°B.

Вычисляем общий ток цепи:

I=U/Z_экв=381.83e^-45j°/52,703e^18,4j°=7,244e^-63,4j°=3,24-j6,48 A.

Вычисляем токи и напряжения ветвей цепи:

U=U₅=U₃₄=381.83e^-45j°B.

I₃=I₄=I₃₄=U₃₄/Z₃₄=381,83e^-45j°/111,8e^-26,6j°=3,415e^-18,4j°=3,24-j1,08 A.

I=I₅+I₃₄

I₅=I-I₃₄=3,24-j6,48-(3,24-j1,08)=-j5,4=5,40e^-90j°A.

I₃=I₄=3,415e^-18,4j°A.

I₅=5,40e^-90j°A.

U₃=I₃*Z₃=3,415e^-18,4j°*50e-^90j=170,75e^-108,4j°=-53,9-j162,02 B.

U₄=I₄*Z₄=3,415e^-18,4j°*100e^0j=341,5e^-18,4j°=324,04-j107,79 B.

U₃₄=U₃+U₄=-53,9-j162,02+324,04-j107,79= 270,14-j269,81 =381,83e^-45j°B.

Уравнение мгновенного значения тока источника:

i=I_M sin (щt+ш_i).

i=7,244v2 sin (3,14t-63^°) A.

Комплексная мощность цепи:

S=U Ї=381.83e^-45j°*7,244e^63,4j°=2766,97e^18,4j°=2625,51+873,39 BA;

S_ИСТ=2766,97ВА, P_ИСТ=2625,51Вт, Q_ИСТ=873,3вар Активная P_ПР и реактивная Q_ПР мощности приёмников:

P_пр =R₁*I₅²+R₂*I₄²=50*5,4²+100*3,415²=2625,22 Bт.

Q_пр =I₃²(-X_c1)+I₅²(X_L1)=3,415²*50+5,40²*50=873,8 вар Баланс мощностей выполняется:

P_ИСТ= P_ПР; Q_ИСТ=Q_ПР

Напряжения на элементах схемы замещения цепи:

U_ca=I₅*R₁=5,4*50=270 B.

U_ab=I₅*X_L1=5,4*50=270 B.

U_bf=I₃*X_C1=3,415*50=170,75 B.

U_fc=I₄*R₂=3,415*100=341,5 B.

Строим топографическую векторную диаграмму на комплексной плоскости. Выбираем масштаб: М_I= 1 А/см, M_U=42,5 В/см.

На комплексной плоскости в масштабе откладываем векторы токов в соответствии с расчётными значениями, при этом положительные фазовые углы отсчитываем от оси (+1) против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке. Так, вектор тока I₅ =5,40е ^ј90 A повёрнут относительно оси.

• (+1) на угол 90^о и длина его l_I5 =5,40 см, вектор тока I₃ =0,805е —^j18,4 A равен вектору тока I₄ =0,805е —^j18,4 A они оба повёрнуты относительно оси
• (+1) на угол -18,4^о их длина равна l_I4,3= 3,24 см. Сложив вектора всех токов получим общий ток равный I_общ=7,3 см.

Топографическая диаграмма напряжений характерна тем, что каждой точке диаграммы соответствует определённая точка электрической цепи. Построение векторов напряжений ведём, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относительно векторов тока: на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90^о, а на ёмкостном напряжение отстаёт от тока на 90^о. Направление обхода участков цепи выбираем, как принято, противоположно положительному направлению токов. Обход начинаем от точки «с», потенциал которой принимаем за исходный (ц_d).Точку «с» помещаем в начало координат комплексной плоскости. При переходе от точки «с» к точке «a» потенциал повышается на величину падения напряжения на реактивном сопротивлении R₁. Вектор этого напряжения U_ca откладываем по току I₁, его длина равна l_Uca=6,35 см.

При переходе от точки «а» к точке «b» потенциал повышается на величину падения напряжения на индуктивном сопротивлении X_L1. Вектор напряжения U_ab откладываем перпендикулярно напряжению U_ac, его длина равна l_Uab=6,35 см.

Далее снова начинаем откладывать векторы напряжений от точки «с» но уже к точке «f». Вектор напряжения U_cf откладываем по току I_3,4, его длина равна l_Ucf=8,13 см. При переходе от точки «f» к точке «b» потенциал повышается на величину падения напряжения на ёмкостном сопротивлении X_С1. Вектор напряжения U_fb откладываем перпендикулярно напряжению U_cf, его длина равна l_Uab=4,0 см. Соединив отрезком прямой «c» и «b», получим вектор напряжения на зажимах цепи U=381,83е —^ј45 В.

Топографическая векторная диаграмма.