Объём тела, полученного вращением арки циклоиды

Найдём объём тела, порождённого вращением арки циклоиды вокруг её основания. Роберваль находил его, разбив полученное яйцеобразное тело (рис. 5.1) на бесконечно тонкие слои, вписав в эти слои цилиндрики и сложив их объёмы. Доказательство получилось длинное, утомительное и не вполне строгое. Поэтому для его вычисления обратимся к высшей математике. Зададим уравнение циклоиды параметрически.

В интегральном исчислении при изучении объемов пользуется следующим замечанием:

Рис. 5.1.

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле:

.

Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.

=.

Таким же образом вычислим и поверхность этого тела.

L={(x, y): x=a (t — sin t), y=a (1 — cost), 0? t? 2р}.

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке [a, b] параметрически (t₀ ?t ?t₁):

S=.

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

Рассмотрим также другую поверхность, порождённую вращением арки циклоиды. Для этого построим зеркальное отражение арки циклоиды относительно её основания, и овальную фигуру, образованную циклоидой и её отражением будем вращать вокруг оси KT (рис. 5.2).

Рис. 5.2.

Сначала найдём объём тела, образованного вращением арки циклоиды вокруг оси KT. Его объём будем вычислять по формуле (*):

Таким образом, мы посчитали объём половины данного репообразного тела. Тогда весь объём будет равен.

Для нахождения площади поверхности этого тела вращения при помощи интеграла также необходимо разбить его напополам по горизонтали и рассмотреть верхнюю его часть.

Значит площадь поверхности полученного тела равна.

=.