Моменты. 
Пуассоновская модель

Простота пуассоновской производящей функции приводит к простым выражениям для производящей функции семиинвариантов, производящей функции факториальных моментов и производящей функции факториальных семиинвариантов.

Производящая функция семиинвариантов равна, поэтому для всех.

Производная функция факториальных моментов равна, откуда для всех .

Производящая функция факториальных семиинвариантов равна, следовательно,.

для всех .

Из соотношения между факториальными моментами и обычными получаем:

где — это разность, в нуле, a S (r, j) — число Стирлинга второго рода.

Производящая функция моментов имеет вид.

а производящая функция центральных моментов -;

из последней формулы следуют рекуррентные соотношения для моментов относительно среднего:

(Riordan, 1937). Кроме того, в монографии (Kendall, 1943) показано, что Следовательно.

О пуассоновской случайной величине с параметром иногда говорят, что она имеет пуассоновское распределение со средним .

Моментные отношения и задаются следующим образом:

Заметим, что пуассоновское распределение обладает следующими свойствами.

Коэффициент вариации равен. Индекс рассеивания (дисперсии) равен; этим часто пользуются в экологии, как эталоном, относительно которого измеряется степень концентрации распределения около среднего: избыточное рассеяние при и избыточная концентрированность при .

Среднее отклонение пуассоновского распределения имеет вид.

(где [*] означает целую часть); этот факт был установлен в работе (Ramasubban, 1958), где имеется также выражение для средней разности. В статье (Crow, 1958) также рассматривается среднее отклонение и показано, что r-й обратный факториальный момент (по возрастанию) равен.

Для пуассоновского распределения.

где означает целую часть. При росте отношение осциллирует; оно стремится к .

В справочнике (Haight, 1967) приводится целый ряд формул, относящихся к неполным моментам.