Напряженность электростатического поля

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ Напряженность и потенциал электростатического поля.

где — сила, действующая на точечный положительный заряд, помещенный в данную точку поля; - потенциальная энергия этого заряда.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой зарядов (принцип суперпозиции электростатических полей).

где — напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемогом зарядом.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом.

где — расстояние от заряда до точки поля, в которой определяется напряженность и потенциал.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей (металлической) заряженной сферой радиусомна расстоянии от центра сферы:

а) внутри сферы.

б) вне сферы.

где — заряд сферы.

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью или бесконечно длинным цилиндром (вне цилиндра),.

где — линейная плотность заряда; - расстояние от нити или от оси цилиндра до точки, в которой вычисляется напряженность электростатического поля (внутри цилиндра).

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,.

где — поверхностная плотность заряда.

Связь потенциала и напряженности электростатического поля:

• а) в общем случае
• б) в случае радиальной или сферической симметрии электростатического поля

в) в случае однородного поля.

где — расстояние между точками с потенциалами и.

Графическое изображение электростатических полей.

Электростатические поля принято изображать при помощи силовых линий вектора напряженности.

• — вектор напряженности направлен по касательной к силовой линии;
• — стрелка на силовой линии указывает направление действия поля на положительный заряд;
• — силовые линии начинаются и заканчиваются на электростатических зарядах (или в бесконечности);
• — густота силовых линий прямо пропорциональна модулю вектора напряженности .

Поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность (теорема Остроградского — Гаусса).

где — суммарный электрический заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности .

Электроемкость.

где — потенциал уединенного проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора.

где — площадь одной пластины конденсатора; - расстояние между пластинами; - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами.

Электроемкость сферического конденсатора.

где и — радиусы двух концентрических сфер; - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между сферами.

Электроемкость цилиндрического конденсатора.

где и — радиусы двух коаксиальных цилиндров; - высота цилиндров; - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между цилиндрами.

Задание 1.

Рассчитать напряженность и потенциал электростатического поля равномерно заряженный сферической поверхности для точек внутри сферы, на ее поверхности и вне сферы на заданных расстояниях от ее центра.

Построить графики зависимостей напряженности и потенциала от расстояния от центра сферы для обеих сред.

С помощью силовых линий вектора напряженности графически изобразить электростатическое поле равномерно заряженной сферы и доказать, что аналитическое представление электростатического поля совпадает с графическим.

Решение:

Выведем формулу напряжённости поля для точек, расположенных внутри сферы и вне нее на расстояниях r от ее центра.

1. Для точки, которая лежит внутри сферы, рассмотрим применение теоремы Гаусса для сферы с радиусом :

;

;

.

По сколько в сферу радиуса r не попадает заряд, так как он по условию задачи распределён на поверхности сферы радиуса R, то: .

2. Для точки, лежащей на поверхности сферы (r=R):

.

3. Для точки, которая лежит вне сферы (r>R):

Выведем формулу потенциала поля для точек, расположенных внутри сферы и вне нее на расстояниях r от ее центра.

Внутри сферы поле отсутствует, поэтому потенциал постоянен при r.

.

Для точки, лежащей вне сферы (r>R):

Поле вне сферы (r>R) совпадает с полем точечного заряда, поэтому в этой области потенциалы сферы и точечного заряда также совпадают.

.

Расчёт напряжённости и потенциала проведём для двух случаев:

1) для 1 = 1:

.

.

Аналогично проведем расчёты для других значений расстояния r и занесём их в таблицу:

2) для 2 = 5,00:

.

.

Аналогично проведем расчёты для других значений расстояния r и занесём их в таблицу:

Графическая часть Построим графики зависимостей напряженности и потенциала электрического поля от расстояния до центра сферы r для обоих случаев.

График зависимости напряжённости электрического поля E® от расстояния r до центра сферы в случае, когда сферы находятся в средах с диэлектрической проницаемостью (1 = 1) и (2 = 5,00):

График зависимости потенциала ц (r) от расстояния r до центра сферы для двух сред:

Построили графики зависимостей напряженности и потенциала электрического поля от расстояния r до центра сферы для обоих случаев. Зависимость E® и ц (r) от обратно пропорциональная, потому чем больше диэлектрическая проницаемость, тем меньше напряжённость электрического поля и его потенциал.

Эскиз нашего рисунка имеет такой вид, где стрелками обозначены силовые линии, которые выходят из шара. В действительности их гораздо больше. Они все направлены по линии радиуса шара и соответственно чем дальше от источника тем напряжённость меньше. Это просто объяснить, т.к. вблизи шара плотность силовых линии больше, чем на дальних расстояниях.

Выводы по заданию: Рассчитала напряженность и потенциал электростатического поля равномерно заряженный сферической поверхности, построила графики зависимостей напряженности и потенциала электрического поля от расстояния r до центра сферы для обоих случаев. Зависимость E® и ц (r) от обратно пропорциональная, потому чем больше диэлектрическая проницаемость, тем меньше напряжённость электрического поля и его потенциал, с помощью силовых линий вектора напряженности графически изобразила электростатическое поле равномерно заряженной сферы.

Задание 2.

Шар радиусом равномерно заряжен с объемной плотностью. Используя теорему Остроградского — Гаусса, вывести формулу зависимости напряженности электрического поля от расстояния r от центра шара для случая, когда.

Построить график зависимости для случая, когда.

Определить разность потенциалов между двумя точками, лежащими внутри шара на расстояниях и от его центра.

Решение:

Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.

Объемно заряженный шар при r>R ведёт себя так же, как и сфера, и для него справедливы выражения:

.

При r > R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда.

Но если r < R, то в отличие от сферы внутри шара есть заряды, а значит напряженность поля отлична от нуля и потенциал не постоянен При r

;

.

И так напряженность поля внутри шара.

Рассчитаем теперь потенциал внутри шара. Так как, то тогда:

Построим график зависимости для случая, когда, используя таблицу Разность потенциалов между точками на расстоянии r1 и r2 рассчитаем, пользуясь формулой (2):

. Итак:

.

— разность потенциалов между точками на расстоянии r1 и r2.

Вывод по заданию: Вывела формулу зависимости напряженности электрического поля от расстояния r от центра шара для случая, когда Построила график зависимости для случая, когда График имеет линейную зависимость, определила разность потенциалов между двумя точками. электростатический поле заряд конденсатор

Задание 3. Две коаксиальные цилиндрические поверхности (цилиндрический конденсатор) заряжены разноименно с одинаковой линейной плотностью.

Рассчитать напряженность электрического поля на расстояниях от оси цилиндров.

Построить графики зависимости напряженности электрического поля от расстояния от оси цилиндров, если пространство между цилиндрами заполнено: а) воздухом, б) диэлектриком.

Решение:

Для расчёта напряжённости поля в произвольной точке, находящейся на расстоянии r от оси цилиндра, проведём через эту точку цилиндрическую поверхность. Радиус этого цилиндра равен r, а его высота h.

Потоки вектора напряжённости через верхнее и нижнее основания цилиндра будут равны нулю, так как силовые линии не имеют составляющих, нормальных к поверхностям этих оснований. Во всех точках боковой поверхности цилиндра Е = const.

Следовательно, полный поток вектора E через поверхность цилиндра будет равен.

. По теореме Гаусса, поток вектора E равен алгебраической сумме электрических зарядов, находящихся внутри поверхности (в данном случае цилиндра) делённой на произведение электрической постоянной е0 и относительной диэлектрической проницаемости среды е. И так:

.

где заряд той части воображаемого цилиндра, которая находится внутри цилиндрического конденсатора.

Отсюда напряжённость электрического поля.

.

Итак:

.

Аналогичные расчёты проведём для остальных значений r и запишем их в таблице:

Построим график зависимости напряжённости электрического поля Е от расстояния r от оси цилиндров, если пространство между цилиндрами заполнено воздухом, в первом случае, и диэлектриком, во втором:

Вывод по заданию: Были рассчитаны значения напряженности электрического поля на расстояниях от оси цилиндров, а так же построен график зависимости напряженности электрического поля от расстояния от оси цилиндров. Мы наглядно можем увидеть что, напряженность где пространство между цилиндрами заполнено воздухом больше чем, напряженность, где пространство между цилиндрами заполнено диэлектриком.

Задание 4. Электростатическое поле создано двумя бесконечными параллельными плоскостями (пластинами), равномерно заряженными с поверхностными плотностями заряда и. Расстояние между плоскостями равно .

Найти разность потенциалов между пластинами.

Определить напряжённость электростатического поля между пластинами и вне пластин. Построить график изменения напряжённости электростатического поля.

Решение:

Напряженность равномерно заряженной плоскости рассчитывается по формуле.

.

т.к. про диэлектрик ничего не сказано примем е=1(для воздуха).

Такая плоскость образует однородное поле, линии напряженности которой представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости и направленные от плоскости, если заряд положительный. Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна геометрической сумме напряженностей полей:

.

Напряженность равномерно заряженной плоскости рассчитывается по формуле.

.

т.к. про диэлектрик ничего не сказано примем е=1(для воздуха);

Такая плоскость образует однородное поле, линии напряженности которой представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости и направленные от плоскости, если заряд положительный.

Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна геометрической сумме напряженностей полей:

.

.

.

Область 2.

.

.

Разность потенциалов между пластинами.

,.

Область 3.

.

График изменения напряжённости электростатического поля вдоль линий, перпендикулярной пластинам:

Вывод по заданию: Найдена разность потенциалов между пластинами, равная, Определила напряжённость электростатического поля построила график изменения напряжённости электростатического поля вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

В результате выполнения расчетно-графической работы:

• 1) Провела самостоятельный поиск необходимой информации с использованием различных источников (учебных, справочных и научно-популярных изданий, ресурсов интернета)
• 2)На практике более подробно ознакомилась с такими понятиями и научилась вычислять такие физические величины как напряженность, потенциал, заряд, разность потенциалов электростатического поля.
• 3)Выполнила сравнительную оценку и сделала выводы по результатам работы
• 4)Использовала в решениях и представлении результатов (в виде графиков) основные программные средства.