Основные свойства характеристической функции

Рассмотрим свойства функции для непрерывной случайной величины. Для дискретной величины эти свойства доказываются аналогично.

1). В общем случае характеристическая функция является комплексной. Ее вещественная часть.

— является — преобразованием от плотности вероятности, и мнимая часть.

• — является — преобразованием от. Если — четная функция, то, тогда характеристическая функция и является вещественной и четной функцией.
• 2).. Это свойство следует нормировки для плотности:

3). — функция имеет глобальный максимум в точке. Доказательство следует:

.

4).

5). Характеристическая функция непрерывна. Для доказательства рассмотрим приращение аргумента функции, такое, что, где — положительное число. Тогда имеет место следующая цепочка преобразований:

Пусть и число тогда следует.

Таким образом, выполняется определение непрерывности функции: для любого можно выбрать положительное, что из условия следует Примеры вычисления характеристической функции.

Пусть — случайная величина с характеристической функцией. Найти характеристическую функцию случайной величины где — числа. По определению.

Найти характеристическую функцию гауссовой случайной величины. По формуле.

Выполним замену переменной интегрирования на переменную, тогда и.

Показатель в подынтегральном выражении преобразуем следующим образом:

.

Подстановка этого результата приводит к выражению.

Отсюда следует, что характеристическая функция гауссовой случайной величины при является вещественной и четной функцией.

Моменты, кумулянты и характеристическая функция Вычислим производную порядка характеристической функции (46.1) при :

где — начальный момент порядка случайной величины. Пусть существуют все моменты, , тогда существуют производные характеристической функции при. Поэтому функцию можно разложить в ряд Тейлора около точки :

Отметим, что здесь первое слагаемое.

Выражение называют иногда разложением характеристической функции по моментам, имея ввиду тот факт, что коэффициенты при определяются начальными моментами .

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности соотношение можно представить в виде:

Таким образом, существование производной порядка характеристической функции при (или начального момента) определяется поведением плотности вероятности при, от которого зависит существование интеграла.

Функция называется кумулянтной функцией случайной величины. Кумулянтная функция является полной вероятностной характеристикой случайной величины, также, как и Смысл введения кумулянтной фукнции заключается в том, что эта функция зачастую оказывается наиболее простой среди полных вероятностных характеристик, т. е. среди .

Например, для гауссовой случайной величины из (48.5) следует.

Кумулянтную функцию можно представить рядом, аналогично соотношению для характеристической функции:

где число.

называется кумулянтом порядка случайной величины. Из (49.7) следует, поэтому суммирование можно начинать с, а поскольку для любой случайной величины, то не является характеристикой случайной величины.

Вычислим кумулянты для гауссовой случайной величины.

Для производная, следовательно, гауссова случайная величина имеет только два кумулянта и отличных от нуля, остальные кумулянты — нулевые.

Поэтому ряд для гауссовой величины состоит из двух слагаемых.