Методика изучения процентов в учебниках для V-IX классов (под редакцией Г.В. Дорофеева)

Впервые о процентах учащиеся узнают в VI классе. Проценты предлагается рассматривать дважды: в начале учебного года, т. е. еще до изучения десятичных дробей (при повторении и систематизации материала, связанного с обыкновенными дробями), а затем в середине учебного года после изучения десятичных дробей.

Первый этап: нужно сформировать понимание процента как специального способа выражения доли величины, выработать умение выражать процент соответствующей обыкновенной дробью. Процент определяется как одна сотая часть некоторой величины. Причем перед введением определения следует рассмотреть примеры употребления процентов [21].

Не стоит торопиться приступать к решению задач на нахождение процента от некоторой величины. Нужно дать учащимся возможность привыкнуть к введенному понятию, освоить фактически другую терминологию. Через систему упражнений учебника ребята учатся употреблению нового термина, «переводу» задач с языка долей и дробей на язык процентов и обратно. В результате еще до решения основных задач на проценты, учащиеся прочно овладевают достаточно большим набором фактов, которые помогают им в дальнейшем. Так, они усваивают некоторые «эквиваленты» :

величины — это этой величины;

половина некоторой величины — это ее ;

величины втрое больше, чем ее и т. п. [5].

Ребята учатся сравнивать доли величины, заданные разными способами:

больше, чем ;

некоторой величины больше этой величины;

меньше четверти; вся величина — это. И т. д.

Выработке навыков помогает специальная работа учащихся в тетради, по специальному материалу, подобранному специально по учебник. Предлагаемая серия практических заданий способствует усвоению учащимися понятия процента. Приведем несколько примеров для рабочей тетради.

Примеры:

1. Для каждой фразы из левого столбца подберите соответствующую фразу правом:

• 2. Туристы проехали пути на поезде и пути на автобусе. Весь ли путь они проехали?
• 3. В классе девочек. Кого в классе больше — мальчиков или девочек?
• 4. Что больше:
  • а) всего класса или половина класса?
  • б) зарплаты или четверть зарплаты?
  • в) половина или всего населения страны?

Теперь, когда школьники достаточно свободно и осознано, владеют понятием процента, можно перейти к задаче на нахождение процентов некоторой величины. Методически целесообразно сначала находить один процент величины, а потом — несколько процентов этой величины (желательно чтобы у педагога уже были сформированы основные алгоритмы по методике нахождению процентов). Что касается второго приема решения (путем умножения на обыкновенную дробь), то здесь он, конечно, рассматривается, однако его обязательное условие отнесено на более поздние сроки. Опыт показывает, что соответствующий навык вырабатывается в процессе многократного применение первого приема, как результат «свернутого» действия. Поэтому на данном этапе, второй прием в обязательные требования не включается.

Формулировки некоторых задач предлагаются в развернутом виде, то есть к рассматриваемому в условии сюжету поставлены не один, а несколько последовательных вопросов. Тем самым привлекается внимание школьников к тому, какую информацию можно извлечь из ситуации с процентами.

Пример:

1. В магазине было 800 кг свеклы. Продали свеклы.

Сколько килограммов свеклы продано?

Сколько % всей свеклы осталось в магазине?

Сколько килограммов свеклы осталось в магазине?

2. В кассе организации было руб. На оплату командировочных израсходовали этой суммы. Какие вопросы можно поставить к задаче? Ответьте на них.

Специальная серия задач, посвященная трудному вопросу об увеличении на, и т. д. Нужно постепенно подводить учащихся к пониманию того, что, например, увеличение на — это то же самое, что увеличение в раза и т. д. Приведем примеры:

Задача 2.6: Фирма в первый месяц выпустила игрушечных автомобилей, в следующем месяце она увеличила выпуск игрушек на. Сколько игрушечных автомобилей стала выпускать фирма? Во сколько раз увеличился выпуск игрушечных автомобилей?

Задача 2.7: В первом квартале года квартплата в Москве в домах с лифтом была на выше квартплаты в домах без лифта (рис. 2.1). Во сколько раз квартплата в домах с лифтом была выше квартплаты в домах без лифта?

Задача 2.8:В связи с инфляцией стоимость проезда в троллейбусах за полгода возросла на. Во сколько раз повысилась стоимость проезда?

Учащиеся также знакомятся с формой неявного использования процентов, типичной для средств массовой информации, например: «Из каждых новорожденных — девочки» .

Второй этап в изучении процентов связывается с десятичными дробями. После изучения десятичных дробей и операций над ними нужно снова возвратиться к понятию процента. Здесь предлагается два специальных пункта. В пункте «Главная задача на проценты» школьники учатся находить процент величины умножением на десятичную дробь. Прежде чем приступить к решению задач, нужно рассмотреть с учащимися правило и упражнения на перевод процентов в десятичную дробь.

" Чтобы выразить проценты десятичной дробью, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100 или, что-то же самое, умножить на 0,01″ .

Приведем пример задачи и ее решения разными способами.

Пример:

Задача 2.9: Оптовая цена товара на складе руб. Торговая надбавка в магазине составляет. Сколько стоит товар в магазине?

I способ: — это; от руб. составляет (руб.), поэтому товар в магазине стоит (руб.).

II способ: оптовая цена составляет, а цена товара в магазине на больше, то есть она составляет; - это; от руб. составляет (руб.).

В пункте «Выражение долей в процентах» центральной является задача об определение того, сколько процентов одна величина составляет от другой. Здесь принят подход, в соответствии с которым сначала находят, какую часть одна величина составляет от другой, выражают ее при необходимости десятичной дробью, а затем — в процентах.

Одна из особенностей вычислительной линии курса состоит в формировании умений выполнять прикидку или оценку результата вычисления. При изучении процентов эта работа, естественно, продолжается. Школьникам предлагаются задачи из повседневной практики, в которых требуется найти приближенно с помощью прикидки процент от заданной величины, для этого достаточно заменить данные другими числами, близкими к ним и удобными для расчетов. Так, если требуется прикинуть, чему равны от какой — либо величины, то находят этой величины, то есть ее пятую часть.

Примеры:

Задача 2.10: Перед новым годам магазин снизил цены на товары на. На сколько примерно рублей понизилась цена товара, если до снижения она составляла руб. руб. руб. руб.

Выполните прикидку и вычислите примерно:

• а) от кг;
• б) от руб.;
• в) от м;
• г) от руб.;
• д) от км;
• е) от г.

Третий этап в изучении процентов отнесен к VII классу. В силу возрастных возможностей семиклассников и уже накопленного ими опыта работы с процентами, школьникам становятся доступными многие вопросы из тех, что традиционно не рассматривались со всем классом, а изучались лишь в качестве дополнительных в работе с сильными учениками. Учащиеся уже знакомы со всеми основными видами задач, теперь они осваивают другие способы их решения, которые были им неизвестны.

В первой главе учебника выделен пункт «Решение задач на проценты», в котором помещен материал, позволяющий вспомнить сведения из шестого класса и продвинуться в решении задач. Теперь есть возможность рассмотреть более сложные в техническом отношении задачи. Они требуют достаточно прочного навыка представления процентов дробью и наоборот, умение находить процент от величины, понимание того, какая из величин, участвующих в задаче, принимается за 100%. Поэтому в начале теоретической части пункта рассматриваются приемы, с помощью которых десятичная дробь выражается в процентах и наоборот; здесь специально выделяется вопрос о «маленьких» (меньше 1%) и «больших» (больше 100%) процентах, как наиболее трудный для усвоения.

Пример:

Задача 2.11: Летом цена товара была повышена на, а зимой — еще на. Сколько стал стоить товар, если его стоимость была руб.

Решение:

Для начала найдем стоимость после первого повышения:

или отсюда рублей.

рублей.

Найдем стоимость после второго повышения.

или рубля отсюда рублей рублей.

Ответ: рублей.

Предлагаемые в системе упражнения задачи, как правило, допускают разные способы рассуждений, и школьники самостоятельно выбирают более удобный, понятный для себя.

Кроме задач на нахождение процента от величины, рассматриваются задачи на нахождение величины по известному проценту.

Отметим еще один методический подход, используемый в изучение процентов. Первую главу заключает раздел «Для тех, кому интересно», в котором учащиеся еще раз встречаются с задачами на проценты. Здесь рассматриваются восемь, если можно так сказать, «классических олимпиадных» задач. Обычно они не включаются в учебники, так как являются трудными, но будет жаль, если учащиеся уйдут из школы, не увидев эти красивые и изящные задачи. Приведем пример одной из задач.

Пример:

Задача 2.12: Книга дороже альбома на. На сколько процентов альбом дешевле книги?

Решение:

Цена альбома —. Изобразим ее каким-либо отрезком (рис. 2.2). Увеличим этот отрезок на, то есть на его часть; получим отрезок соответствующий цене книги.

Рис. 2.2.

Теперь цена книги составляет. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на этого отрезка. Так как составляет, то альбом дешевле книги на .

Вся методика обучения решению задач, принятая в учебнике, позволяет показать учащимся наглядный способ их решения с помощью рисунков (хотя, конечно, эти задачи можно решить арифметически).

При изучении следующей главы «Отношения и пропорции» школьники активно пользуются опытом работы с процентами и приобретают новые знания. В систему упражнений включены новые задачные ситуации, проиллюстрированные ниже.

Пример:

• 1. В сплав входит медь, олово и сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый металл?
• 2. На облицовку подъезда в строящемся доме ушло 18 дней. За сколько дней можно было бы выполнить эту же работу, если повысить производительность на 20%?

По мере овладения новым математическим аппаратом при изучении алгебры, школьники осваивают стратегию решения расчетных задач на проценты — с помощью составления уравнения.

В VIII классе в теме «Алгебраические дроби» школьники снова обращаются к задачам на проценты. Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» — это хорошие примеры практических задач, позволяющих продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях. Для того, чтобы помочь школьникам осознать на новом уровне подход к решению задач с процентами, стоит обратить их внимание на то, что в учебнике приводятся образцы решения ряда задач. К разобранному образцу учащиеся при желании может вернуться вновь и использовать его в качестве опоры при решении подобной задачи.

Задача 2.13: Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет. Если бы он добавил руб., то через год получил бы доход руб. Какая сумма была внесена им в банк?

Решение:

Пусть руб. — сумма, которую клиент внес в банк. Тогда руб. было бы на вкладе, если бы клиент добавил руб.;

руб. — доход в, который мог бы получить клиент с этой суммы.

Так как доход равен руб., то имеем равенство: .

отсюда, следовательно, ответ: клиент внес в банк рублей.

В IX классе в главе «Дробные уравнения» также можно предложить задачи на проценты, решение которых основано на составлении дробных рациональных уравнений.

Пример:

На первые и вторые премии в конкурсе студенческих работ было выделено тыс. р., причем этих денег пошло на первые премии. Вторых было выдано на больше, чем первых. Сколько студентов получили первые премии и сколько вторые, если известно, что вторая премия составляла первой?

Завершается линия процентных вычислений в IX классе темой «Простые и сложные проценты», включенной в изучение главы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно хорошим материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Возможность опереться на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты.

В учебнике не вводятся формулы простых и сложных процентов. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа. В теме широко используется калькулятор, который позволяет рассматривать самые разнообразные задачи.

В ходе решения предлагаемых авторами задач учащиеся видят, что понятия арифметической и геометрической прогрессии, а также формулы их сумм — это не просто абстрактное отвлеченное понятие, а конкретное математическое знание, необходимое для жизни.

В данном курсе в русле новой содержательной линии «Анализ данных» формулируются приемы сбора, представления и анализа информации, так или иначе связанной с процентами.

Проценты также используются в VI — VII классах для представления информации в виде таблиц и диаграмм, а VIII — IX классах — при изучении вероятно-статистического материала.

Таким образом, авторы данного курса уделяют большое внимание понятию процента. С помощью богатого задачного материала учащиеся могут увидеть все разнообразие применения данного математического термина.

Можно заметить, что понятие процента, как математически тривиального, вводится уже в младших классах среднего звена. В силу их возрастных особенностей и невысокой математической грамотности учащиеся не могут ознакомиться со всем спектром задач на проценты. В VII — IX классах данный термин забывается, и простейшие задачи шестого класса становятся для школьников сложными. Поэтому целесообразным уделять процентам больше внимания, как это сделано в учебном комплекте под редакцией Г. В. Дорофеева.