Функция Лагранжа для электромагнитного поля

В [1] справедливо утверждается, что функция Лагранжа, вообще говоря, не является однозначной. В физике она всегда должна иметь форму инвариантную относительно преобразования Галилея (классическая теория) или Лоренца (релятивистский вариант).

В книге построение теоретических основ электродинамики идет от функции Лагранжа для заряда. Затем получают тензор электромагнитного поля Fkl. На его основе строится тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Далее анализ приводит к уравнениям Максвелла и теореме Пойнтинга.

Только два уравнения из четырех Ландау получает на основе релятивистского принципа наименьшего действия. Даже закон сохранения Пойнтинга не следует из 4-дивергенции тензора энергии-импульса, как это обычно имеет место в аналитической механике. Сказывается желание автора «спрятать трудности». Это свидетельствует о внутренней скрытой несогласованности электромагнитной теории.

Мы, напротив, будем широко использовать аналитические методы, чтобы выявить главные источники проблем. Мы покажем, что описание электромагнитных явлений прекрасно укладывается в рамки аналитической механики. Для этого будем анализировать основы в обратной последовательности, т. е. начнем с плотности функции Лагранжа для электромагнитного поля, продвигаясь затем от волн к полям заряда. В [1] (§ 33) приводится следующее выражение для плотности функции Лагранжа.

(1.2.1).

Такой вид плотности функции Лагранжа неудобен для нашего исследования. Его необходимо преобразовать. Запишем выражение (1.2.1) в системе СИ.

(1.2.2).

Поскольку функция Лагранжа не определяется однозначно, преобразуем выражение (1.2.2) и придадим ему иную форму функции Лагранжа, используя интеграл действия.

(1.2.3).

где: — 4-вектор плотности тока; uk = dxk /ds — 4-вектор скорости; - плотность пространственного заряда.

Раскроем подынтегральное выражение, преобразуем и проинтегрируем по частям.

(1.2.4).

Во втором интеграле конечного выражения (1.2.4) пределами интегрирования является бесконечность, где при интегрировании по координатам поле исчезает. При интегрировании по времени начальные и конечные точки варьирования фиксированы, и там вариация интеграла равна нулю. Следовательно, последний интеграл в выражении (1.2.4) обращается в нуль. Таким образом, получаем новое весьма простое выражение для плотности функции Лагранжа.

(1.2.5).

Выражение (1.2.5) полностью эквивалентно выражению (1.2.1). Такая форма функции Лагранжа для электромагнитного поля упоминается, например, в КЭД [4].