Геометрическое распределение. 
Информатика и математика

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она представляет собой число повторных независимых испытаний до первого успеха.

Если случайная величина X имеет геометрическое распределение, то она принимает значения т- 1, 2, 3,… (счетное множество значений) с вероятностями.

Математическое ожидание и дисперсия X равны

Пример 7.4.

Контроль качества большой партии изделий проводится до первого появления бракованного изделия. В результате серии проверок обнаружилось, что бракованное изделие впервые появлялось в среднем при десятом испытании. Оценить вероятность появления брака р.

Решение. Пусть X — число испытаний до первого появления бракованного изделия. Эта случайная величина имеет геометрическое распределение. По условию ее среднее значение равно MX = 10. Так как MX = 1 /р, то р = 1/10 = 0,1. ?

Закон Пуассона

Пусть производится п независимых испытаний, в которых появление события А имеет вероятность р. Пусть число испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала (р < 0,05).

Тогда дискретная случайная величина X числа появления события А распределена по закону Пуассона, если она принимает целые значения т = 0, 1, 2, … с вероятностями.

где Х = пр> 0 — параметр распределения.

Значения вероятностей р_т приводятся в таблицах распределения Пуассона (приложение 4), а вид распределения показан на рис. 7.1.

Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской случайной величины равны параметру распределения Пуассона:

Распределение Пуассона широко используется для приближенных вычислений.

Рис. 7.1. Вид распределения Пуассона при малых значениях параметра распределения Л

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [а, ?>, если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне отрезка равна нулю.

Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения / (х) (рис. 7.2, а).

Получаем С =-.

Ь-а

Найдем функцию распределения F (x) на отрезке [а, Ь].

Тогда.

Функция распределения F (x) изображена на рис. 7.2, б.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины определяются формулами.

Рис. 7.2. Равномерное распределение

Равномерный закон распределения действует, например, при округлении чисел. Если числа округляются до целых значений, то ошибка округления, представляющая собой разность между действительным значением и округленным, равномерно распределена на полуинтервале [-0,5; 0,5).

Также по равномерному закону распределено время ожидания пассажиром транспорта при одинаковых интервалах его движения и т. д.

Пример 7.5.

Интервал движения автобуса равен 15 мин. Какова вероятность того, что пассажир на остановке будет ждать автобус не более 5 мин?

Решение. Пусть случайная величинах — это время ожидания автобуса, равномерно распределенная по условию на отрезке [0,15]. Причем а = О, b = 15, х_г = 0, х₂ = 5. Тогда ее функция распределения имеет вид.

По формуле вычисляем

Пример 7.6.

Случайная величина X распределена по равномерному закону на отрезке [-1, 3]. Записать выражения для Дх) и F (x). Найти MX, DX, оХ.

Решение. Так как в данном примере а = -1, b = 3, то b — а = 4. Проведем вычисления.