Условие «жесткой связи» потенциалов

Формулируя принцип «градиентной инвариантности» Ландау пишет в [1], что можно, используя эту инвариантность, исключить одно из уравнений. Этим мы воспользовались, чтобы «убрать» из решений продольные волны.

Однако он не увидел второй вариант. Мы можем исключить из всех уравнений частные производные по времени. Иными словами, мы можем, используя условие калибровки Лоренца, «обратить» волновые уравнения в уравнения пуассоновского типа. Им отвечают мгновенно действующие потенциалы. Мгновенно действующим потенциалам мы будем присваивать индекс «0». Покажем это.

Запишем условие калибровки Лоренца.

(1.7.1).

Мы не нарушим условие (1.7.1), если свяжем потенциалы А0 и ф0 уравнением.

(1.7.2).

Это и есть условие «жесткой связи» потенциалов (его релятивистский аналог). Условие (1.7.2) как раз и решает поставленную задачу, т. е. позволяет исключить производные потенциала по времени. Отметим, что для уравнений пуассоновского типа нет необходимости задавать начальные условия. Скалярные потенциалы не рождаются и существуют сколь угодно долго, как и их источники (заряды).

Сравним форму скалярных потенциалов при обычной связи (запаздывающие потенциалы) и «жесткой связи» (мгновенное действие на расстоянии). Здесь нас не будут интересовать энергетические соотношения. Их мы рассмотрели выше.

А. Запаздывающий потенциал (обычная связь потенциалов).

Пусть виртуальная заряженная частица, генерирующая запаздывающие потенциалы, представляет собой сферу, на поверхности которой равномерно распределен поверхностный заряд с плотностью, где, а — радиус сферы. Заряд неподвижен. Уравнение для потенциала поля виртуального заряда имеет вид:

(1.7.3).

Потенциал при r = 0 должен быть ограничен. Допустим, что виртуальный заряд рождается в начальный момент времени (t = 0). Волновые уравнения позволяют описать «рождение» заряда. «Предыстория жизни» заряда для t? 0 заложена в начальных условиях задачи Коши. Начальные условия выберем нулевые.

Мы не будем описывать стандартную процедуру решения. Описываемый уравнением (1.7.3) потенциал равен сумме двух потенциалов (рис. 1), один из которых движется от r = а в бесконечность вдоль радиуса, а второй — к центру и, отразившись от начала координат с потерей фазы на (жесткий «керн»), движется от центра, вычитаясь из первого при r > a (рис. 1). Потенциал при r > a является запаздывающим.

Для точечного виртуального заряда (при a 0) потенциал имеет вид (r > 0):

; где (1.7.4).

Рис. 1.

Теперь можно отнести момент «рождения» заряда в бесконечно удаленное время. Потенциал заряда по величине будет постоянным, не зависящим от времени. Это не означает, что потенциал «статичен». В каждые последующие друг за другом бесконечно малые промежутки времени от заряда «отпочковываются» тонкие слои потенциала и уносятся друг за другом в бесконечность, убывая обратно пропорционально расстоянию от заряда r-1.

Пусть теперь заряд движется с постоянной скоростью v. Его скалярный потенциал описывается уравнением.

Решение имеет вид:

(1.7.5).

Обратим внимание на характерный множитель ,.

В. Мгновенный потенциал («жесткая» связь потенциалов).

Вернемся к волновому уравнению (1.7.3). В это уравнение как бы «вложено» уравнение Пуассона вида.

(1.7.6).

Кажется, что формально уравнения (1.7.3) и (1.7.6) совпадают, если считать заряд покоящимся и существующим бесконечно давно. Однако решение уравнения (1.7.6).

(1.7.8).

принципиально отличается от выражения (1.7.4) множителем, который стремится к 1 только в пределе при условии, что .

Рассмотрим теперь этот же движущийся заряд. Пусть он движется вдоль оси х с переменной скоростью. Мы преобразуем уравнение (1.7.3), используя условие «жесткой связи».

Если подставить выражение для векторного потенциала в условие калибровки Лоренца, то эти дополнительные условия совместно дадут уравнение непрерывности для скалярного потенциала.

(1.7.9).

Из выражения (1.7.9) следует, что производная потенциала во времени (которую мы можем также рассматривать, как начальное условие при t = 0) не может быть задана произвольным образом. Например, она не может быть равной нулю, как это было при решении волнового уравнения (1.7.3). Более того, мы можем, используя (1.7.9), вычислить и вторую производную потенциала по времени и исключить ее из волнового уравнения.

Для иллюстрации рассмотрим движение точечного инерциального заряда вдоль оси х с произвольной скоростью. Используя (1.7.9) можно найти следующие выражения:

(1.7.10).

Если движение равномерное, то выражение (1.7.10) упрощается.

(1.7.11).

Учитывая (1.7.11), легко привести волновое уравнение к уравнению пуассоновского (эллиптического) типа.

(1.7.12).

Выражение (1.7.12) можно было бы сразу получить из уравнения (1.7.6), используя преобразование Лоренца. Обратите также внимание на следующий факт. Теперь нам нет необходимости задавать начальные условия, поскольку производная по времени от потенциала в уравнении (1.7.12) отсутствует!

Далее делаем замену и обращаем выражение (1.7.12) в уравнение Пуассона.

(1.7.13).

Решением этого уравнения будет потенциал, который является мгновенно действующим (уравнение Пуассона!).

(1.7.14).

Потенциал (1.7.14) есть частное решение уравнений (1.7.3) и (1.7.12) одновременно. Повторим: потенциал (1.7.14) не является запаздывающим. Он описывает мгновенное действие на расстоянии, поскольку является решением уравнения (1.7.12).

Отсюда появляется возможность удалить еще один предрассудок. Лорец-ковариантность уравнений физики не есть гарантия отсутствия мгновенного действия на расстоянии! Преобразование Лоренца это обычное алгебраическое преобразование. Оно не превращает запаздывающие потенциалы в мгновенно действующие и обратно! Добавим, что мгновенное действие на расстоянии может существовать при конечной скорости света.

Аналогичные вычисления можно было бы провести для произвольного движения заряда в трехмерном пространстве.

Замечание. Вряд ли Ландау понимал, что существует «жесткая связь», которая порождает мгновенное действие на расстоянии. Он, как и все физики его поколения, считал, что поля зарядов и поля электромагнитных волн тождественны и всегда являются «запаздывающими». Но он постоянно (и, как теперь знаем, незаконно) использовал соотношение (1.7.2) при описании явлений, например, при описании взаимодействия зарядов. Эти вопросы мы подробно рассмотрим в Части 2.

Отождествление полей зарядов и электромагнитных волн позволило Ландау «решить» две задачи:

• · Во-первых, исключить из книги логически противоречивую «кулоновскую калибровку». Об этом мы выше упоминали.
• · Во вторых, «легко и непринужденно» переходить от описания электромагнитных волн запаздывающего потенциала к описанию взаимодействия зарядов между собой (используя мгновенное действие на расстоянии) и обратно.

В результате он добился внешне строгого и логически последовательного изложения теории, но две проблемы он «припрятал». Одна из них — проблема электромагнитной массы, о которой он упоминает в книге, как о «пустячке», вторая — проблема излучения ускоренного заряда («самоускорение заряда»). «Пустячок», как мы убедились, оказался отнюдь не пустяковым! Это мы тоже обсудим.