Методика изучения понятия «функция» и общих свойств функций

При введении понятия функции, осуществляемого, как правило, конкретно-индуктивным способом, необходимо установить по смыслу предлагаемых для рассмотрения задач, что: а) значения переменной х принадлежат некоторому множеству; б) значения переменной у принадлежат некоторому множеству; в) каждому значению переменной х соответствует одно и только одно значение переменной у.

Для усвоения учащимися этих характерных признаков понятия функции применяются различные способы задания функции, основными из которых являются задание функции формулой, таблицей, графиком. Могут быть предложены следующие виды заданий (7 класс).

• 1. Какие из формул а) — д) задают функцию? Ответ объясните. Для функций укажите те значения, которые принимает переменная у.
• А), х принимает значения -1,; 0;; 2; ;
• Б), х принимает значения 0; 2,25;; 7,001;
• В); х принимает значения -3, 75; -2; 0; 2,5; 3;
• Г); х принимает значения -2, -1; 2; 1;
• Д); х принимает значения -1; 0; 3.
• 2. Какие из таблиц а) — в) задают функцию? Ответ объясните. Для функций укажите область определения и множество значений.
• А)

Б).

В).

3. Какие кривые на рисунке (см. Рис. 1, а — г) задают функцию? Ответ объясните. Для функций укажите область определения и множество значений.

А) Б).

В) Г) Рис. 1.

После решения каждой задачи желательно обобщать предложенные учащимися обоснования. Например: Если зависимая переменная в формуле находится под знаком модуля или возводится в квадрат, то соответствующая формула не задает функцию. Если в таблице есть столбцы с одинаковыми значениями аргумента и различными значениями зависимой переменной, то таблица не задает функцию. Если существует прямая, параллельная оси ОУ, пересекающая кривую в двух и более точках, то кривая не является графиком функции. Другими словами: если существует хотя бы одно х, по которому находится два и более значений у, то имеем дело не с функцией.

Ответ на второй вопрос третьего задания будет звучать так (в 7-м классе с понятием числового промежутка учащиеся еще не знакомы): область определения функции на рисунке б) — это числа -3, 3 и все числа от -3 до 3, а множество значений — числа -2, 4 и все числа от -2 до 4. Важно добиться от учеников понимания того факта, что область определения находится на оси ОХ (позже: числовой промежуток, являющийся ортогональной проекцией графика на ось ОХ), а множество значений — по оси ОУ (позже: числовой промежуток, являющийся ортогональной проекцией графика на ось ОУ) в том случае, когда функция задана графиком. Формированию умения находить область определения и множество значений функции, заданной графически, происходит постепенно при изучении алгебры в 7−9-х классах, в процессе периодического обращения к подобным задачам.

Важными видами задач, предшествующими приведенным выше, являются задачи на нахождение значения зависимой величины по значению независимой в том случае, когда функция задана формулой, таблицей или графиком, и нахождение значения независимой величины, которому соответствует известное значение зависимой. Таких задач, как правило, много в учебниках.

Задания, аналогичные тем, примеры которых приведены выше, должны предлагаться на соответствующем для учащихся уровне при повторном обращении к понятию функции в старших классах. Приведем пример.

Верно ли что:

• А) ни одна из замкнутых кривых, изображенных на координатной плоскости, не является графиком функции;
• Б) любая кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси абсцисс, является графиком функции;
• В) любая кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси ординат, является графиком функции;
• Г) кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси ординат, может являться графиком функции;
• Д) кривая на координатной плоскости, симметричная относительно оси абсцисс, может являться графиком функции?

Ответ поясните. В случае необходимости приведите пример, опровергающий утверждение.

При введении понятия функции необходимо показать учащимся, что одна и та же функция может быть задана по-разному. Это важно как для усвоения ими многообразия аспектов понятия «функция», так и для потребностей практики. Приведем пример.

7 класс

Функция задана таблицей. Задайте ее графиком и формулой.

2. Функция задана формулой

Задайте ее другой формулой.

• 3. Задайте функцию, где таблицей, другой формулой, графиком.
• 10 класс
• 1. Задайте аналитически функции и, графики которых изображены на рисунках (см. Рис. 2, 3).

Рис. 2.

Рис. 3.

2. Задайте другими формулами функции

;;; ;

.

предварительно указав область их определения.

При изучении общего понятия функции каждая приводимая в качестве примера и предлагаемая для демонстрации того или иного понятия функция рассматривается индивидуально, не ставится вопрос о сходстве свойств этих функций. Вслед за введением понятия функции и ряда связанных с ним понятий переходят к изучению классов функций. Функции, входящие в один класс, обладают общностью аналитического способа задания, сходными свойствами и, соответственно, сходными особенностями графиков. Изучение функций, входящих в класс, чаще всего осуществляется по следующей схеме:

• 1) рассматривается ряд задач, в результате решения которых появляются сходные по виду формулы, задающие функции;
• 2) дается определение функций данного класса через указание общего вида формулы, их задающей;
• 3) рассматриваются задачи на подведение под понятие;
• 4) выясняется смысл параметров в правой части общей формулы через рассмотрение типичных представителей функций данного класса и построение их графиков;
• 5) выясняется вид графика функции в зависимости от параметров и способы его построения;
• 6) изучаются свойства всего класса функций и свойства подклассов, получаемых при наложении определенных условий на параметры, на примерах их типичных представителей;
• 7) рассматриваются разнообразные приложения.

Данная схема не является застывшей: положение и формулировка этапов 4, 5, 6 определяются уровнем строгости изложения материала, то есть соотношением наглядно-геометрических и аналитических методов исследования функций.

Исследовать функцию, то есть изучить её свойства, — это значит выяснить особенности изменения значений переменой у при изменении значений переменной х. Если функция задана графически, то ее свойства изучаются, «прочитываются», по графику. Если функция задана формулой, то ее исследование должно проводиться аналитически, то есть с использованием аппарата алгебры или аппарата дифференциального исчисления. График функции, если есть необходимость в его построении, строится на основании проведенного исследования. В противном случае многие, в частности локальные (зависящие от значений функции в некоторой окрестности точки и в самой), свойства функции могут быть не учтены при построении графика. Исключения составляют случаи, когда график получается из известного путем преобразований и когда строят графики функций.

, ,.

где графики функций и заданы или известны. С основными преобразованиями графиков учащиеся знакомятся в школьном курсе математики. Арифметические же операции с функциями в школе не определяются, их введение производится неявно. Наблюдается неосознанный перенос действия из числовой области в область функций. Учащиеся не затрудняются при нахождении, например, значения функций.

.

при конкретном значении х. Построение графиков функций.

,.

из графиков функций и в общем виде не рассматривается.

При изучении классов элементарных функций графики строятся по точкам без предварительного аналитического исследования или после проведения частичного аналитического исследования. После построения графиков нескольких конкретных функций данного класса, установления их расположения в зависимости от параметров указываются свойства рассматриваемых функций. Эти свойства «прочитываются» по графикам, обобщаются и присваиваются всем функциям данного класса. На основании рассмотрения графиков нескольких функций делаются общие выводы. Проявляющиеся при таком изучении теории логические пробелы: построение графиков функций по точкам и общие выводы на основе неполной индукции — вызваны необходимостью раннего изучения функций как математических моделей и недостаточностью у учащихся знаний для проведения аналитического исследования. Эти пробелы должны быть пояснены учащимся после изучения темы «Производная». Исследование всех изученных ранее классов функций в общем виде с использованием аппарата производной позволит учащимся:

• А) отработать схему исследования функций;
• Б) при самостоятельном исследовании проконтролировать свои действия (так как свойства функций хорошо знакомы);
• В) повторить основной материал функциональной линии;
• Г) осознать смысл параметров в формулах, задающих тот или иной класс функций;
• Д) обосновать наличие у функций определенного класса тех свойств, которые им ранее приписывались;
• Е) установить наличие у функций данного класса свойств, которые ранее не рассматривались.

При первоначальном построении графиков функций изучаемого класса по точкам необходимо использовать прием «загущения» точек на графике. Использование приема «загущения» способствует созданию первоначальных представлений о непрерывности.

Суть приема состоит в том, что сначала в координатной плоскости отмечается несколько точек, принадлежащих графику функции, затем в результате наблюдения выясняется, что все построенные точки расположены на некоторой кривой, и, наконец, устанавливается, что какое бы произвольное значение аргумента из области определения функции мы не взяли, соответствующая ему точка графика функции располагается на выделенной кривой. Только после выполнения всех перечисленных действий делается вывод о том, что полученная кривая является графиком функции. Выполнив построение графиков нескольких функций рассматриваемого класса и убедившись, что графиками являются кривые одного вида, учащиеся делают вывод: графиком любой функции данного класса является кривая данного вида. В дальнейшем выделяются более простые способы построения графиков функций данного класса исходя из того, что вид графиков известен.

Программа по математике для 7−9-х классов предусматривает формирование у учащихся умения находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции, наибольшее и наименьшее значение. В программе для старшей школы говорится о том, что учащиеся должны «иметь наглядные представления об основных свойствах функций, иллюстрировать их с помощью графических изображений». Однако анализ результатов единого государственного экзамена по математике, проводимого в ряде регионов России, и в частности в Новгородской области, в 2002;2006 годах свидетельствует о том, что учащиеся легче справляются с заданиями, в которых требуется использовать непосредственно то или иное определение, свойство, чем его графическую интерпретацию.

Это касается и использования учащимися теоретического материала темы «Производная. Применение производной». По-видимому, в основной школе формированию наглядных представлений о ряде общих свойств функций уделяется недостаточное внимание, а в старшей школе основной упор делается на изучение формулировок определений и свойств, их применение, соответствующая графическая интерпретация либо не рассматривается вообще, либо только обговаривается.

Понимание учащимися словесной формулировки определения, свойства должно быть неразрывно связано с соответствующими геометрическими представлениями. Учитель должен предлагать учащимся задачи не только на аналитическое исследование свойств функции, но и на прочтение свойств по графику, а также задачи, в которых часть свойств устанавливается аналитически, а часть — по графику.

Например, нахождение множества значений функции чаще всего происходит после исследования и построения графика функции. Использование геометрических иллюстраций помогает учащимся глубже осознать соответствующий теоретический материал.

алгебра координатный линейный кубический.