Анализ стационарного режима генерации лазера и оптимизация нагрузки

Рассмотрим идеализированную схему лазерного автогенератора, состоящего из открытого резонатора, имеющего 2 плоских зеркала, одно из которых полупрозрачное и выпускает генерируемое излучение в полезную нагрузку, и из помещенной в резонаторе активной среды (рис. 5,а).

Так как при движение плоской волны электрического поля с амплитудой E в активной среде резонатора вдоль его оси z с постоянной затухания в активной среде эта амплитуда меняется по закону.

и.

и т. к. энергия волны, а (где — скорость волны, t — время), то.

.

а) б) Рис. 5.

При рассмотрении всей энергии, заключенной в резонаторе, это выражение тоже будет справедливо, но величина в резонаторе определяется результирующим усредненным уменьшением амплитуды волны в расчете на единицу длины вдоль оси z резонатора. Так как изменение E при движение волны от одного зеркала открытого резонатора с коэффициентом отражение — к другому, с коэффициентом отражения —, и обратно, т. е. на длину (где — расстояние между зеркалами), определяется соотношением то значение, усредненное по длине во всем резонаторе, будет в соответствии с выражением (3) равно:

.

При этом если рассматривать изменение энергии во всем резонаторе, то из выражения (4).

.

где — эффективное время релаксации энергии в резонаторе. По определению нагруженная добротность резонатора:

.

где — энергия, запасенная в резонаторе, — ее потери за период T колебаний. Из (6) следует и поэтому.

.

Учитывая, что — длина волны, окончательно получим.

(Видно, что при ,).

Резонатор, работающий в одномодовом режиме, удобно представить параллельным эквивалентным контуром (см. рис. 5, б), где проводимость нагрузки должна быть пропорциональна прозрачности () выходного зеркала причем — коэффициент пропорциональности, который мы определим из (7) учитывая, что для контура (см. рис. 5, б):

.

где — круговая частота колебаний, — емкость эквивалентного контура. Считая, что проводимость потерь в резонаторе, где определяется потерями во внутреннем зеркале, причем в соответствии с (8),, а — потерями при движении волны, и заменяя с учетом малости и близости и к единице:

(10).

можно после пренебрежения членами, содержащими произведение малых величин, ,, получить из (9) соотношения.

; ,.

так что:

; (12).

Очевидно, что если в резонатор лазера помещена активная среда длины на рис. 5, дающая ещё и отрицательное затухание волне с постоянной затухания, это будет эквивалентно введению в параллельный контур схемы на рис 5, а отрицательной (по нашим обычным понятиям, электронной) проводимости :

(см. пунктир на рис. 5., б), где величина должна быть усредненной по всему объему активной среды и в общем случае может быть комплексной. Чтобы определить амплитуду, А колебаний напряжения в эквивалентном контуре (см. рис.5,б), необходимо вспомнить, что энергия, запасенная в контуре, должна быть, равна, причём при вычислении необходимо учитывать распределение удельной энергии в объеме резонатора. В (13) согласно (6.7), — усредненная удельная инверсная населенность уровней сигнального перехода активной среды; - поперечное сечение взаимодействия ее частиц с квантами.

Будем считать. То обстоятельство, что во всех написанных соотношениях появилась емкость — контура, которая нами не определена, не должно вызывать тревоги, т.к. при вычислении выходных параметров лазера эта емкость исчезнет в итоговых выражениях. Например, при расчетах выходной мощности лазера будем иметь:

Для расчета величины необходимо знать распределение поля в резонаторе.

Строгое решение вопроса о таком распределении чрезвычайно сложно. Дело в том, что малейшие нестабильности в работе лазера, которые почти всегда имеют место на практике, существенно меняют распределение поля по длине, особенно при наличии неоднородностей в среде и при большой мощности генерации, когда возможны и многомодовые режимы и неоднородные уширения. Многократные отражения от зеркал при наличии рассеяния, также существенно меняют это распределение. Все эти факторы приводят к тому, что в большинстве случаев распределение поля можно считать близким к однородному по длине. Однако при малом превышении накачкой порога генерации, при малой протяженности резонатора (например, в резонаторах мазеров), при наличии однородного уширения линии, при достаточно высокой однородности активной среды и при большой прозрачности выходного зеркала резонатора можно полагать, что в резонаторе реализуется строго одномодовый высокостабильный режим, когда поле состоит из бегущей и стоячей волн. Поэтому рассмотрим два отдельных случая.

1. Случай высокой монохроматичности и стабильности одномодового поля в резонаторе.

Если считать, что электрическое поле волны имеет минимум на границе с непрозрачным зеркалом и полагать коэффициент внутреннего отражения от него этого поля чисто вещественной величиной равной, то поле световой волны распределяется вдоль расстояния Z от зеркала по обычному закону СВЧ в линии передачи:

;

гдефазовая постоянная распространения волны, которую мы будем считать пренебрежительно мало зависящей отамплитуда поля на границе непрозрачного зеркала в его центре. Так как интенсивности поля; , (где диэлектрическая проницаемость среды), то с учётом гауссова распределения поля светового пучка по его радиусу, получим.

.

Если считать, что зеркала резонатора круглые и что вдоль длины активной среды лазера укладывается, полудлин волн, а вдоль остальной длины укладывается, полудлин волн, то для полной энергии, запасённой в резонаторе, получим соотношение.

;

.

Усреднённая по объему активной среды инверсная разность населёностей уровней сигнального перехода лазера определяется соотношением :

где радиус активной среды.

Подставляя в (18) вместо () его обычное значение с учетом (16), после интегрирования с применением равенств получим:

; ;;

Рассмотрим вначале случай, когда невелико, так что можно использовать представление .

При этом (19) может быть после использования разложения.

приведено к виду:

При этом из (13) получим:

; (22).

Условие стационарной генерации лазера может быть записано как условие неизменности волны после ее движения по резонатору вперед и назад:, что с учетом равенства после использования подстановок (10), (11) и (13) легко привести к обычному для схемы контура (см. рис. 5,6) виду:

(23).

используя который придем к квадратному уравнению имеющему решение;

;

Так как из (14), (12), (16) и (20) следует, что, то из условия с учетом (24) можно получить выражение:

.

на основе которого можно, получив зависимость и учтя, что определить зависимость относительной оптимальной нагрузки.

(27).

от и, т. е. от и от.

Рис. 6.

Графики зависимостей представлены на рис. 6. для двух значений Т.к. между этими значениями лежат обычно все реализуемые на практике значения и т.к. графики лежат достаточно близко, то пользуясь обычной интерполяцией, можно на. основе рис. 6 оценить при любых для заданного. Из (26) следует, что при можно ограничиться двумя членами разложения корня в ряд. Это дает выражение показывающее, что при выполнении упомянутого неравенства параметр не влияет на ход зависимости, что видно также из правого края графиков (см .рис 6). Зная и можно на основе соотношений (14), (17), (7:20) и (25) получить, что максимальная мощность, генерируемая лазером, определяется выражениями:

На рис. 6 сплошными линиями приведены рассчитанные с помощью этого выражения зависимости при двух значениях, причем значения. и при заданных брались из результатов предыдущих расчетов.

Если величину нельзя считать малой, то задача определения и может быть решена только прямыми расчетами зависимости при заданных и. В этом случае, необходимый для таких расчетов аналог соотношения (25), полученный на основе (23), (19) и (22), имеет вид.

;

и позволяет путем расчетов величины найти .

2. Случай однородного распределения поля по длине резонатора. Этот случай может быть получен из предыдущего путем подстановок во все формулы, кроме (12), определяющей за счет реального величину, поэтому причем и При этом из (24) следует и условие оптимальной нагрузки получает вид:

.

а выражение (29) будет:

.

Графики зависимостей, соответствующих формулам (31) и (32), приведены на рис. 6 пунктирными линиями.

Зная для рассматриваемой лазерной системы параметры, ,, ,, ,, можно найти G, и, определив из графиков рис. 6 можно на основе (27) найти и определить параметры выходного зеркала лазера, а по формулам (36) и (32) определить. Однако до сих пор мы фактически рассматривали такой идеализированный случай выходного зеркала, когда оно не дает поглощения и вся прошедшая через него мощность попадает в полезную нагрузку. На практике этот случай никогда не реализуется, т. к. любое выходное зеркало дает поглощение мощности как при отражении от него, так и при прохождении через него. Мы рассмотрим два варианта выходного зеркала:

1) Зеркало дает потери за счет поглощения в частично отражающем слое (коэффициент поглощения) и за счёт рассеяния своими краями (дифракционные потери) и шероховатостями поверхности зеркала (коэффициент рассеяния). При этом баланс мощностей может быть представлен соотношением.

Согласно (8), где — мощность, поступающая на выход зеркала. Пусть поглощенная и рассеянная мощность определяются проводимостью потерь, тогда будем в соответствии с формулой (8) иметь Так как при этом из (33) следует.

то.

Поэтому в выражении (24) и во всех последующих расчетах.

роль величины G должна играть сумма, а роль величины — разность. С учетом этого обстоятельства все выше приведенные расчеты, определяющие на основе известного оптимальную величину остаются в силе. При этом, если во всем материале стекла зеркала необходимо учесть поглощение света, а не только в частично отражающем слое, это можно сделать заменив в вышеприведенных формулах на, где — коэффициент поглощения света по напряжению в стекле. 2) Случай металлического зеркала площади с отверстиями, имеющими общую площадь, и с коэффициентом поглощения полной поверхностью, равным, и коэффициентом рассеяния этой поверхностью, равным. Очевидно, что в этом случае.

;

;

Учитывая эти равенства, из (33) получим.

а т.к. по-прежнему, то.

Поэтому в выражении (24) и во всех последующих расчетах:

Таким образом, если во всех вышеприведенных расчетах, определяющих по известной величине, вместо использовать параметр, а величиной Gсчитать, то все эти расчеты будут справедливы.

Определив в первых двух случаях и в последнем случае, легко при всех прочих известных параметрах найти оптимальную прозрачность зеркала, определяемую в первом случае величиной, а в последнем случае величиной. При этом, если принять, что имеет место гауссов пучок и отверстие в зеркале представляет собой кольцо, внешний и внутренний радиусы которого равны и, то можно показать, что причем последние, приближенные формулы справедливы при обычно выполняемом условии, а под величиной можно понимать суммарную площадь отверстий в том случае, если они расположены по упомянутому кольцу и являются заменой этого кольца, причем через эти отверстия и выпускается лазерный луч.