Стационарные состояния квантовых и классических систем

Покажем, что для любой квантовой или классической системы, обладающей центральной симметрией и заданной энергией, существует такая метрика, что действие системы будет связано с некоторым решением уравнения (27). В случае стационарных состояний действие системы можно представить в виде.

.

Используя первое уравнение (31) и уравнение (33), находим.

(38).

Выразим из первого уравнения (38) и подставим во второе, тогда получим.

(39).

Очевидно, что решения уравнения (39) при всех вещественных значениях параметров и метрики определены в комплексной плоскости. Действительно, уравнение (39) можно представить в виде.

(40).

Отсюда следует, что функция действия в общем случае либо является комплексной, либо движение ограничено условием.

(41).

Поскольку же метрика допускает любые движения, то отсюда следует, что функция действия является комплексной. Разрешая уравнение (40), находим в явном виде зависимость действия стационарных систем от метрики окружающего пространства.

(42).

Здесь логарифмическая функция определена в комплексной плоскости, — произвольная постоянная.

В случае решение уравнения (40) имеет вид.

(43).

Полученные зависимости (41)-(42) решают поставленную задачу. Таким образом, мы доказали, что действие любой механической системы — классической или квантовой, находящейся в стационарном состоянии, зависит от параметров, характеризующих движение и от метрики окружающего пространства. Следовательно, для каждого типа движения существует такое уравнение состояния, что движение полностью определяется метрикой и параметрами движения — энергией и угловым моментом, что и требовалось доказать.

На рис. 2 представлены зависимости, вычисленные по уравнению (42), от параметров при заданных значениях .

Рис. 2. Зависимость действия от параметров при заданном значении .

Основной вывод, который следует из анализа выражения (42) и данных на рис. 2, это разделение действия бозонов и фермионов «стеной», имеющей особенность. Таким образом, указанное выше разделение материи на бозоны и фермионы является фундаментальным свойством гравитационного поля, которое отражается на состоянии материи, что непосредственно следует из уравнения (40).

Далее заметим, что зависимость действия от параметров метрики в форме (42) является аналогичной логарифмической зависимости энтропии и коэффициента эмерджентности от числа состояний в форме (11), (17) и (25). Это наводит на мысль, что действие, описывающее движение системы в гравитационном поле и энтропия имеют аналогичный смысл.

Действительно, в статистической физике распределение типа (12) возникает в такой системе, в которой достигается экстремум энтропии. В гравитационном поле аналогичное распределение (37) возникает в системе обладающей центральной симметрией и метрикой, согласованной с метрикой Шварцшильда. Оба этих свойства, как известно, соотносятся со свойствами материи. А всякая материальная система движется так, что действие достигает экстремума, в частности экстремума информации или энтропии [16]. Таким образом, есть основания предположить, что гравитационные волны являются глобальным системообразущим факторов.

Уравнение (40) показывает, что действие в гравитационном поле зависит не только от динамических параметров, но и от уравнения состояния гравитационного поля. В случае фермионов из уравнения (40) и условия (41) следует, что энергия системы с центральной симметрией меньше, чем энергия покоя, поскольку.

.

Это правило выполняется как для электронов в электронных оболочках, так и для нуклонов в атомных ядрах. В случае бозонов энергия системы может быть и больше и меньше, чем энергия покоя.

Это фундаментальное различие между бозонами и фермионами можно отобразить на основе уравнения (42), полагая в нем. На рис. 3 представлена реальная часть действия над комплексной плоскостью метрики. В случае бозонов соответствующая поверхность имеет дыру, а в случае фермионов — разрыв.

Рис. 3. Поведение реальной части действия над комплексной плоскостью метрики: поверхность бозонов имеет дыру, а фермионов — разрыв.

Полученные результаты позволяют рассматривать модифицированное уравнение Эйнштейна (3) не только как космологическую модель [27], но и как фундаментальную модель физики элементарных частиц [18−20].