Особенности моделирования сферы услуг с помощью теории перколяции

На сегодня сложилась довольно противоречивая ситуация: с одной стороны — требуется равновесное, соответствующее способности потребителей, распространение услуг, отвечающих современным стандартам и достижениям науки и техники, с другой стороны — осторожный подход к финансированию и кредитованию этой сферы банками и недостаточное внимание со стороны предпринимателей. Хотя в развитых странах сфера услуг приносит до 70% ВВП. В современных условиях очевидна перспективность развития сферы услуг, но это развитие должно опираться на достоверные прогнозы. Дальнейшие рассуждения полностью исключают конкуренцию в сфере услуг, что накладывает некоторые ограничения на предлагаемое моделирование процесса прогнозирования.

Если развитие сферы услуг рассматривать как процесс постепенного распространения (можно сказать просачивания) всего набора услуг среди потребителей и насыщения потребления услуг до определенного уровня, то перколяционная теория может быть использована для прогнозирования развития сферы услуг города. Перколяция — это достаточно широкое понятие и теория перколяции может моделировать ситуации различные на первый взгляд. Такое просачивание упрощает анализ сложных конфигураций, текстур и взаимодействий.

Целью данной работы является адаптация перколяционной теории для создания модели, которая позволяла бы описывать и прогнозировать развитие такой сложной социально-экономической системы как сфера услуг. В рамках данной работы не будем останавливаться на важных параметрах для конечного, практического, результата, таких как размер кластера, элемента перколяционной решетки и пр.

Предположим, что город можно моделировать квадратной решеткой (с учетом особенностей застройки, это близко к реальному), в определенных узлах которой располагаются центры распространения услуг (ЦУ). Предположим также, что за одну единицу времени идет распространение услуг на ближайших соседей-потребителей, за следующую единицу времени осуществляется насыщение соседних кластеров услугами до определенного уровня.

Очевидно, если концентрация ЦУ р_цу ниже некоторой критической величины р_с, распространение услуг происходит очагами и не охватывает всю квадратную решетку [5]. Наоборот, при р_цу > р_с распространение услуг идет высокими темпами и если решетка (город) тянулась бы дальше, то услуги достигли более отдаленных её границ.

Однако нас интересует пограничное состояние, или порог перколяции, при котором р_цу? р_с, или при.

Оказывается, что при е << 1 критические параметры подчиняются простым законам подобия, отражающим самоподобие просачивания вблизи порога, или критической точки.

Обозначим через Z (n, t, е) отношение числа элементов решетки, получившие услуги определенного уровня (к определенному моменту времени t), к среднему числу элементов в ряду. Предполагается, что n и t много больше единицы и тогда в близи порога перколяции (при е << 1) функция Z является однородной функцией своих аргументов:

.

То есть, Z — это некоторая универсальная функция с тремя показателями скейлинга: an, at, aе. Рассматриваемая функция при t >? и n >? принимает следующий вид Допуская, что Z зависит от е по степенному закону получим равенство е ^в = (л^аее) ^в? л, или ае = 1/ в. Показатель в является критическим показателем, и его возможно связать только с одним из показателей скейлинга ае.

Введем еще два параметра: характеристическую длину (например, расстояние между ЦУ) о и характеристическое время и. Известно, что и о, и и расходятся при е >? в соответствии с простыми степенными законами:

о = const • е ^-н и и = const • е ^-д.

Приводя зависимость Z (n, t, е) от е к этим характеристическим величинам, можно записать.

.

где функция g зависит только от двух параметров и чтобы выполнялся исходный закон подобия, показатель x должен быть равным — в? н.

Теперь все три показателя скейлинга связаны с тремя критическими показателями в, н, д, характеризующими, как Z, о и и изменяются в зависимости от е вблизи критической точки (е << 1).

Качественный анализ предложенной модели распространения услуг позволяет оценить среднюю скорость распространения услуг (и насыщения ими рынка) в зависимости от количества ЦУ на перколяционной решетке. Обозначим — как характеристическое число элементов решетки уже получающих услуги на достаточном уровне. Тогда уравнение для Z можно записать в следующем виде.

.

Из выше изложенного следует, что величина Z / ж остается неизменной, если n изменяется со временем t по закону.

.

Следовательно, средняя скорость насыщения услугами изменяется со временем как t ^{н? д — 1}.

Критические параметры н и д определяются с помощью численного моделирования конкретной перколяционной решетки. Интересно, что данные критические показатели не зависят от конкретных деталей, только от размерности пространства вложения (для квадратной решетки равной двум) и от количества степеней свободы рассматриваемой переменной. В данном случае, когда рассматривается ситуация: произошло насыщение услугами до определенного уровня или нет, можно говорить о двух степенях свободы, что упрощает решение.

Кроме того, как отмечается в [3], что все критические показатели н, д и в не зависят от числа взаимодействующих соседних элементов. Что касается критических концентраций р_с, то они бывают различными. Эти показатели, являясь универсальными, связаны выражением 2 В + д = нd, где d — размерность пространства.

Приведем некоторые замечания для определения критических показателей. Так, в определяется путем компьютерного моделирования, путем подсчета числа элементов, достигших необходимого уровня насыщения услугами. То есть, это итеративная процедура чувствительная к ошибке выборки. И для двумерного случая равен 0,1389, а для трехмерного — 0,4 [4]. Параметр н, контролирующий характеристическую длину, связан выражением н / д с критическим параметром времени д.

Внутреннее пространство реальных объектов, моделируемых перколяционной моделью, в своей структуре содержат сильно нелинейные каналы распространения (или насыщения) нерегулярной формы с переменной мощностью. Представляется, что при построении теоретических моделей перколяционных структур следует обратить внимание на такие параметры, как: связность, непрерывность, фазовое состояние структуры; размерность и регулярность моделируемой структуры. Также необходимо учитывать механизмы взаимодействия различных масштабных уровней как в пределах одной структурной единицы, так и между соседними единицами одной или различных фаз.

Моделируя сервисную структуру города можно сказать о ней следующее: вo-первых, структура многосвязная, так как сервисных потребностей у элементов решетки достаточно много, во — вторых, это плотная структура, в моделируемой области рассматриваются все структурные единицы в пределах выделенной фазы. В — третьих, сферу услуг можно представить как заполняющую многофазную систему. В-четвертых, размерность является одной из основных характеристик внутренней структуры любого множества. В связи со сложностью реальных явлений распространения и насыщения сферы услуг города структура обладает мультифрактальностью, т. е. кластеры перколяционной решетки представляют собой совокупность подмножеств, проявляющих свойства самоаффинности в широком диапазоне масштабов с различными показателями; размерности множества объектов, составляющих моделируемую структуру, образуют непрерывный спектр, максимальное значение которого не превосходит размерности основного множества. В-пятых, характеризуя регулярность структуры, важным является понимание «хаоса» и «сложности», моделируя сферу услуг города, следует говорить о локально-регулярной структуре. Локальная регулярность проявляется в топологии, а хаотичность присутствует в предпринимательской деятельности.

Математическое моделирование процесса перколяции тесно связано со способом реализации случайного физического процесса распространения и насыщения услугами узлов или элементов решетки. Но прежде необходимо сделать ряд ремарок. С физической точки зрения процесс распространения различных услуг следует понимать как процесс «инвазивной перколяции», как наиболее общий случай, представляющий собой взаимодействие двух «несмешивающихся» или не замещающих друг друга сфер услуг. Например, образование и жилищно-коммунальное хозяйство. Что в свою очередь, также порождает и мультифрактальность. Одним из существенных упрощений присутствующих в большинстве моделей является её «ненаправленный» характер. В данной модели предлагается также исключить направленность или градиентность для первого приближения, потому что требует построения специального направленного перколяционного кластера.

Одной из первых задач, возникающих при моделировании перколяционного процесса, является задача выделения подмножества узлов, непрерывным образом связанных с заданным узлом решетки (или с их некоторой совокупностью). По мнению авторов [1], основные проблемы возникают в недоступности части узлов при рассмотрении для данной реализации распределения вероятности доли достижимых узлов. Основная идея алгоритма для решения поставленной задачи состоит в следующем. Среди возможных достижимых узлов формируется некоторое начальное множество. Для каждого из начальных узлов строится множество соседних (периметр множества) и те из узлов, которые являются достижимыми и не принадлежат к другому множеству, присоединяются к начальному. После чего выполняется построение периметра для нового «начального множества» и процесс повторяется до исчерпания свободных узлов или достижения какой-то заданной точки, допустим — истощения источника.

К более сложным задачам относится задача анализа структуры кластера, которая подразумевает выделение мертвых концов кластера, представляющих собой подмножества узлов, соединенных с остовом только одной связью. Следующий элемент анализа — это выделение полного периметра кластера, реализация этого базируется на его определении. Затем — выделение внешнего периметра перколяционного кластера, что существенно сложнее и основывается на идее разделения узлов, принадлежащих полному периметру кластера. Для анализа скелета перколяционного кластера необходимо объединение алгоритма повторной маркировки [1] и некоторых идей метода динамического программирования Р. Беллмана [3]. Применительно к задаче формирования и анализа сервисного кластера принцип оптимальности в рекурсивной постановке гласит: часть кратчайшего пути от любой его точки до начала является кратчайшим путем, заканчивающимся в этой точке. Использование только что изложенного при построении перколяционного кластера позволяет выделить структуру его скелета, если на каждой итерации сохранить: а) расстояние от каждой достижимой точки текущего периметра кластера до его начала; б) ссылку на предыдущий узел кластера, для которого данная точка является достижимой.

Анализ предложенной модели позволяет сделать следующие выводы и замечания. Некоторые затруднения вызывает определение кластера. Известно, что масса кластера перколяционной решетки зависит от линейного размера решетки. Кроме того, размер решетки оказывает влияние и на процесс перколяции (просачивания). Кластера, простирающегося на всю решетку, как правило, не может существовать, это полностью согласуется с логикой предоставления услуг, например, образовательные услуги в топологическом плане не покрывают полностью всю решетку (город), есть элементы, которым данный вид услуг неинтересен, либо они сталкиваются с этими услугами опосредованно. Анализ источников [4, 5] показал, что кластер обладает фрактальной структурой и фрактальной размерностью, так как все виды услуг в той или иной степени необходимы элементам решетки. И как подчеркивается, фрактальная размерность кластера перколяционной решетки величина переменная, что позволяет контролировать в модели достижение порога насыщения услугами n-ным кластером. Также важно заметить, что, используя алгоритм для анализа структуры кластера, на первом этапе необходимым будет формировать кластер для каждого вида услуг и описывать их взаимодействие. Рассуждения о фрактальности сервисного кластера основываются на следующих замечаниях: фрактальная размерность кластера служит количественной мерой заполнения кластером пространства и не описывает форму кластера; фрактальные кластеры имеют плотность, убывающую с увеличением расстояния от начала. Сказанное хорошо согласуется с природой распространения услуг в рамках города.

Физический процесс распространения услуг моделируется с помощью следующей процедуры:

Определить геометрию моделируемой области, её характеристики и граничные условия, формирование регулярной перколяционной решетки узлов, тесно связанной с топологией исследуемой области.

Выбрать начальное приближение значений пропускной способности услуг и формирование узлов обеспечивающих пропускную способность услуг.

Процесс распространения услуг, которое возможно только по узлам перколяционной решетки, непосредственно связанным с источником услуг. Обсуждение источников услуг приводится ниже. По завершении роста перколяционного кластера в первом приближении фиксируется структура кластера, отражающая модель распространения одного вида или некоторого набора услуг.

С учетом связности определяется эффективное значение пропускной способности услуг и другие характеристики полученной структуры.

Из-за неопределенности выбора начального приближения на базе второго и третьего этапа строится итерационный процесс с коррекцией начальных условий.

Различные причины, препятствующие распространению услуг, позволяют говорить о нелинейном процессе. Математическая формализация этого явления приводит к использованию нелинейных автономных дифференциальных уравнений [2]. В нелинейных дифференциальных уравнениях завязываются следующие переменные: стоимость услуг, доход потребителей, стохастичность предпринимательской активности и другие.

Вызывает противоречие использование прямоугольной решетки, которая очевидна для планировки города, с её относительно невысокой точностью по сравнению с точностью перколяционной решетки треугольного вида. Для построения решетки реальных объектов можно использовать известные пакеты разбиения, которые применяются в конечно-разностном анализе.

Особое внимание следует обратить на многоаспектность сферы услуг, что обуславливает обязательное разделение и раздельное рассмотрение источника распространения каждого вида услуг и потребителей этих услуг. Важная характеристика источника распространения услуг — мощность — моделируется через такие понятия, как радиус-вектор центра масс кластера, радиус циркуляции, которые эквивалентны таким показателям деятельности предприятий сферы услуг как: производственная мощность, пропускная способность, среднее число клиентов и так далее. Так как потребителям необходим весь спектр основных предоставляемых услуг, то приходится говорить о некотором пределе или пороге насыщения, который связан с платежеспособностью потребителей, с той долей дохода, которая тратится на услуги. То есть здесь мы сталкиваемся со сложной структурой с более чем одним показателем скейлинга. Кроме того, структура перколяционного кластера характеризуется спектром показателей, однозначно определяющих положение элемента, принадлежащего некоторому множеству: топологическая размерность, размерность Хаусдорфа — Безиковича, которая нецелочисленная и строго больше топологической размерности; размерность Минковского, с близкими свойствами к размерности Хаусдорфа — Безиковича, информационная размерность и т. д.

Для характеристики мультифрактала города можно использовать два подхода: геометрический подход — для характеристик структур города: микрорайоны, транспортная сеть, а теория информации позволяет характеризовать различные потоки и просачивания.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

• — перколяционная теория и фрактальный анализ может использоваться для адекватного описания и прогнозирования распространения сферы услуг города;
• — методология расчета размерности указанных мультифракталов позволит оценивать степень самоорганизации сложных систем, тенденции развития и правильно дозировать управляющие воздействия в виде инвестиций и законодательных актов;
• — модель позволит эффективно трансформировать государственные и муниципальные программы развития применительно к отдельным отраслям услуг с учетом привлечения бизнеса.

математический перколяция экономический.

Список использованных источников

Москалев П.В., Шитов В. В. Математическое моделирование пористых структур. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 120 с.

Милованов В. П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация. — М.: Эдиториал УРСС, 2001. — 264 с.

Тарасевич Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс: Учебное пособие. Изд. 4-е, испр. — М.: Эдиториал УРСС, 2004. — 152 с.

Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1991. — 254 с.

Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая.- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005, 528 с.