Кинематика зубчатых механизмов с подвижными осями вращения

Зубчатая передача, у которой геометрическая ось хотя бы одного из колес подвижна, называется планетарной. Различные планетарные механизмы можно представить в виде трех типов передач.

1. Дифференциальные передачи, обладающие двумя степенями подвижности, у которых все основные звенья подвижны (15.6). Эти передачи позволяют суммировать два или несколько потоков мощности, поступающих от независимых источников, либо распределять их по независимым потребителям.

Дифференциальная передача.

2. Простые планетарные передачи, обладающие одной степенью подвижности, у которых одно из основных звеньев закреплено неподвижно (15.7, закреплено звено 3). Такие механизмы служат для последовательной передачи потока мощности.

Планетарная передача.

3. Замкнутые дифференциальные передачи, получаемые из дифференциальных передач путем замыкания двух основных звеньев (центрального колеса и водила) простой передачей, состоящей из колес 1, 2, 3 (15.8). Такие передачи позволяют получить большие передаточные отношения при малых габаритах.

Замкнутая дифференциальная передача Рассмотрим механизм, изображенный на 15.6. Определим число степеней подвижности, если n = 4 — число звеньев, p5 = 4 и p4 = 2 — число кинематических пар V и IV класса.

Определенность в движении звеньев у этого механизма будет в том случае, если будут заданы законы движения двум звеньям.

Основными звеньями механизмов с подвижными осями являются водило (Н) и соосные с ним колёса (1 и 3). В данном случае все основные звенья подвижные. Оба эти признака (W > 1 и подвижные основные звенья) определяют дифференциальный механизм.

Определим степень подвижности для механизма, изображенного на 15.7:

W 3 3 2 3 2 1.

У этого механизма колесо 3 (основное звено) неподвижно и W = 1. Оба признака определяют планетарный механизм. В механизмах замкнутых дифференциалов все основные звенья подвижные, но число степеней подвижности равно единице (W = 1). Таким образом, только по совокупности двух признаков механизмы с подвижными осями можно отнести к тому или иному типу.

Формулы (15.1), (15.2) для определения передаточного отношения планетарных и дифференциальных механизмов использовать нельзя, так как сателлит участвует в сложном движении, состоящем из вращения вокруг оси O2 и вращения вместе с водилом Н вокруг оси Он (см. 15.6, 15.7).

Для вывода зависимостей, связывающих угловые скорости механизмов, имеющих подвижные оси, воспользуемся методом обращения движения.

Допустим, что в действительном движении звенья механизма (см. 15.6) имеют угловые скорости щ1, щ2, щ3 и щ4. Сообщим всем звеньям скорость, равную угловой скорости водила, но противоположно ей направленную, т. е. щH. В этом случае угловые скорости звеньев соответственно будут щH щ щ H; щH щ 2 щ H; 1 1 2 щH щH щ щ H; щ H щ H 0. 3 3 H.

Так как водило Н стало неподвижным (щHH 0), то мы получили.

" обращенный механизм" с неподвижными осями. Для этого механизма справедлива зависимость.

iH щH, 1 щH 13 3.

где i13H — передаточное отношение «обращенного механизма», которое можно определить через число зубьев колес: iH z3. 13 z1.

В правую часть предыдущей зависимости подставим значение относительных скоростей: iH щH щ щ H. 1 1 (15.3) щH щ щ 13 H 3 3.

Полученное уравнение называется формулой Виллиса для дифференциальных механизмов. Левая часть, как показано выше, может быть выражена через число зубьев колес. Определенность в решении правой части будет иметь место, когда будут известны скорости двух ведущих звеньев. Установим, какой вид примет формула Виллиса для планетарного механизма, изображенного на 15.7. У этого механизма колесо 3 жестко соединено со стойкой (заторможено), т. е. щ3 0. Таким образом, имеем.

i H щ1 щH 1 щ1 1 i. 13 0 щH щH 1H Откуда i 1 iH. (15.4) 1 H 13.

Полученную зависимость называют формулой Виллиса для планетарных механизмов, а передаточное отношение i1H — планетарным передаточным отношением.

Как и для дифференциальных механизмов, i13H определяется через число зубьев колес. В общем случае ikH 1 iklH ,.

где ikH — передаточное отношение от звена k к звену l (l соответствует неподвижному центральному колесу).

Достоинством планетарных механизмов является возможность получения больших передаточных отношений при малых габаритах.

Пример 15.1. Определить передаточное отношение iH 1 планетарного механизма (15.9), если z1 = 100, z2 = 99, z2ґ = 100, z3ґ = 101.

Это одноступенчатый планетарный редуктор. Используя формулу (15.4), запишем.

1 1 1 1 iH 1 10 000. i 1 iH 1 z 2 z3 1 99 101 1 H 13 z z 100 100 1 2.

Пример 15.2. В зубчатой передаче, показанной на 15.10, входное коническое колесо 1 в данный момент имеет угловую скорость щ1 = 340 с-1 и постоянное угловое ускорение е1 = 285 с-2, направленное по движению.

z1 = z2 = 18; z2ґ = z4ґ = 18; z3 = z5 = 30; z3ґ = z5ґ = 22; z4 = z6 = 70.

Принять средний модуль конического колеса mm = 2 мм, ширину колеса b = 20 мм, плотность с = 8000 кг/м, смещение центра масс (точки А, 15.11) l = 2 мм.

Смещение центра масс Определить:

• 1) передаточное отношение между входным и выходным звеньями и направление вращения;
• 2) угловую скорость и угловое ускорение выходного звена, их направление показать на схеме передачи;
• 3) время, в течение которого угловая скорость увеличится в два раза;
• 4) величину и направление силы инерции и момента пары сил инерции звена 1 в начале и конце найденного в предшествующем пункте промежутка времени, сравнить силу инерции с силой тяжести и показать на чертеже направления вращения, ускорения и инерционных нагрузок;
• 5) общий коэффициент полезного действия передачи.

Решение.

1. Определение передаточного отношения механизма.

i i щ1 щ1. 17 1H щ7 щH.

Выделим из механизма ступень с неподвижными осями, состоящую из колес z1, z2, z2ґ, z3, z3ґ, z4, и планетарную ступень, состоящую из колес z4ґ, z5, z5ґ, z6 и водила Н (7);

• а) для ступени с неподвижными осями i14 i12 i2 3 i3 4; оси колес 1 и 4 непараллельные, поэтому знак передаточного отношения не определяем, а покажем направления вращения колес неподвижной ступени в соответствии с правилом стрелок: i14 щ1 z 2 z3 z4 18 30 70 5,303; щ4 z1 z 2 z3 18 18 22
• б) чтобы определить передаточное отношение планетарной ступени, используем формулу Виллиса; остановим водило Н (7), используя зависимость (15.3), получим iH щ4 щH z5 z 6 z5 z6 30 70 5,833; 4 6 щ6 щH z 4 z5 z 4 z5 18 20 колесо 6 неподвижно (щ6 = 0), используя зависимость (15.4), получим i 1 iH 1 5,833 6,833; 4 H 4 6 в) передаточное отношение всего механизма i17 i1H i14 i4 H 5,833 6,833 39,859.

Передаточное отношение планетарной ступени i4 H 0. Следовательно, водило Н (7) вращается в ту же сторону, что и колесо 4. Покажем направление угловой скорости щ7 и углового ускорения е7 на чертеже стрелками. Поскольку е1 0, вращение ускоренное.

2. Угловая скорость и угловое ускорение ведомого звена 7 по модулю:

щ 7 щ1 340 8,52 c 1; i17 39,86 е 7 е1 285 7,15 c 2. i17 39,86.

3. Определить время, в течение которого угловая скорость увеличивается вдвое: щ1 2щ1.

Для ускоренного вращения щ1 щ1 еt. Отсюда t щ1 щ1 2щ1 щ1 щ1 340 1,19 c. е1 е1 е1 285.

4. Для расчета момента инерции I01 коническое ведущее колесо со средним модулем mm = 2 мм, z1 = 18 заменим цилиндром с диаметром, равным среднему делительному диаметру:

d m1 mm z1 2 18 36 мм 0,036 м.

С учетом сказанного масса определяется по формуле.

m сV с рd m1 b 8000 3,14 0, 0362 0, 02 0,163 кг, 1 4 1 4 где с — плотность, с = 8000 кг/м3 (по условию). I 1 m r2 1 0,163 0, 0362 2, 64 10 5 кг м2. 01 2 1 m1 2 4.

Вес колеса G m1 g 0,163 9,8 1,6 H.

Смещение центра масс (точка, А на 15.11) l = 2 мм = 0,002 м. Нормальная составляющая силы инерции n n F ин m1 a A. Нормальное ускорение точки A a n щ2 l 3402 0,002 231, 2 м. A 1 с2 n 0,163 231, 2 37,7 H. F ин Касательное ускорение точки A и касательная составляющая силы инерции: a е l 285 0, 002 0,57 м; с2 A 1 F ин m1 aA 0,163 0,57 0, 093 H.

Определим полное ускорение точки А, силу инерции и направление силы инерции:

2 2 м a a n a 231, 22 0,572 231, 2; A A A с2 2 2 F F n F n 37, 72 0, 0932 37, 7 H; ин ин ин tgб Fин 0, 093 2, 46 10 3; б 8. F n 37, 7 ин В практических расчетах составляющей F ф, как малой величиной, можно пренебречь и считать, что F F n 37,7 H. Сравнним силу тяжести и силу инерции: Fин 37, 7 23, 6. G 1, 6.

Силой веса по сравнению с силой инерции при практических расчетах также можно пренебречь.

Момент сил инерции M u I е 2,64 10 5 285 0,752 H м. 01.

Покажем направление всех векторных величин на чертеже. 5. Определение общего КПД механизма.

з = зк зц2 зпл .

Здесь зк 0,95 — КПД конической пары с учетом потерь в подшипниках.

зц 0,96 — КПД цилиндрической пары (две пары по условию);

зпл 0,96 — КПД планетарной передачи.

з 0,95 0,962 0,96 0,84.