Теоремы сложения и умножения вероятностей

Прежде, чем приступить к формулировке и доказательству соответствующих теорем, проиллюстрируем графически несколько определений для множества элементарных событий S. Использование графиков позволит наглядно убедиться в справедливости формально получаемых результатов.

С любой парой событий и можно связать два новых события, определяемых условиями: «имеют место илиили» и «имеют место ии». Эти события обозначают, так как это принято в теории множеств, или (+) и или (). Первое из этих событий содержит все точки, за исключением тех, которые не принадлежат ни, ни (рис. 5 а), а второе — все точки общие событиями (рис. 5 б).

Разность событий — (рис. 5 в) — событие, которое наступает при одновременном наступлении и ненаступлении, и может быть записано, как .

А теперь рассмотрим теперь несколько теорем, с помощью которых по вероятностям одних случайных событий можно вычислять вероятности других случайных событий.

Теорема 1 (сложения вероятностей). Каковы бы ни были события и и каково бы ни было пространство элементарных событий S, вероятность объединения (суммы) равна.

(4).

Доказательство. Все множество элементарных событий, для которого определены события и, может быть разделено на 4 группы точек в соответствии с тем, относятся ли эти точки к обоим событиям и, только к одному из них, или ни к одному. Если все множество точек пространства элементарных событий обозначить через n, а через — число точек в каждой из указанных выше групп, т. е. будет соответствовать событию.

то.

Если теперь эти вероятности подставить в (4), то мы получим тождество, что и доказывает сформулированную теорему.

Если события и несовместны, так что, то получается соотношение, принятое в качестве одной из аксиом при аксиоматическом обосновании теории вероятности, о котором уже говорилось выше, а именно, что вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т. е.

(5).

В обеих приведенных формулировках теорема сложения вероятностей допускает естественное обобщение на случай r событий. Для случая попарно несовместных событий это обобщение очевидно. Общая же формула для вероятности суммы r произвольных случайных событий будет выведена ниже.

Приведенное выше доказательство теоремы сложения вероятностей является вполне строгим и им можно было бы ограничиться. Однако, в порядке исключения, мы хотим привести два других доказательства, чтобы продемонстрировать многообразие подходов, возможных даже при решении относительно несложных задач, связанных с доказательством теоретических положений.

Итак, пусть события и не являются несовместными, т. е. событие содержит элементарные события из множества S (рис.6). Как видно из приведенного рисунка области событий и можно разбить на части и, а также и, причем область содержит общие для и элементарные события. Из этого следует, что событие + можно рассматривать как сумму трех попарно несовместных событий и вследствие этого.

(6).

Перепишем это равенство в следующем виде:

. (7).

Так как события и, а также и несовместны, то, используя равенство (5), имеем соответственно:

и (8).

. (9).

Подставляя два последних соотношения в (7), получаем выражение, фигурирующее в теореме сложения вероятностей:

.

Еще одно доказательство этой теоремы может быть получено с использованием приведенных в конце предыдущего параграфа основных аксиом теории вероятностей. Так как события и несовместны (см. рис. 6) то из аксиомы 3 следует, что.

. (10).

В свою очередь, событие + может быть представлено, как объединение двух несовместных событий и, откуда следует (с учетом 10 и аксиомы 3).

.

что и требовалось доказать.

Рассмотрим гипотетический пример использования теоремы сложения вероятностей. Пусть мы имеем в хромосоме некоторый локус с двумя генами A и a. Если организм несет два одинаковых гена в локусе, он называется гомозиготным. Если для организма вероятности быть чистым доминантом, т. е. нести пару AA, или чистым рецессивом, т. е. нести в одном локусе пару генов aa, равны соответственно ½ и ¼, то в силу несовместности у одного организма комбинаций AA и aa в одном локусе вероятность того, что организм гомозиготен, равна ½+1/4=¾.

Другой пример. Два стрелка независимо друг от друга производят по выстрелу (события и) по движущейся мишени. Из предыдущих наблюдений известно, что первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7, а второй — с вероятностью 0,6. Какова вероятность обнаружить, хотя бы одну пробоину в мишени. Так как события и независимы, то искомая вероятность.

Условная вероятность. Предположим, что события и могут появиться при осуществлении некоторого эксперимента. Нас интересует вероятность события, если известно, что осуществилось событие. Будем обозначать эту вероятность как (читается: «условная вероятность события при условии, что произошло событие «или более коротко: «вероятность события при условии «).

Если есть информация, что событие осуществилось, необходимо рассматривать не все пространство элементарных исходов, а только совокупность элементарных событий, соответствующих. Каждому элементарному событию поставим в соответствие некоторое неотрицательное число, назовем его условной вероятностью и потребуем, чтобы имело место равенство.

(11).

Суммирование должно осуществляться по всем элементарным событиям из .

Если определить условную вероятность элементарного событий при условии как.

(12).

то несложно убедиться, что приведенное равенство (11) будет выполняться. В самом деле.

Итак, чтобы вычислить условную вероятность, надо воспользоваться формулой (12) и просуммировать условные вероятности всех тех элементарных событий, которые принадлежат и одновременно. Имеем.

(13).

Из этой формулы естественным образом может быть получено несколько соотношений, полезных при решении задач.

Во-первых,.

(14).

которое легко распространить на случай трех событий :

(15).

если выполняются условия:

Обобщение на n событий будет приведено ниже (формула 19).

Другое соотношение.

(16).

То, что это соотношение имеет место, доказывается прямым методом, который использовался при доказательстве теоремы сложения вероятностей и предлагается в качестве упражнения. Для доказательства необходимо потребовать, чтобы события и были несовместны в рассматриваемом пространстве элементарных событий, а не являлось невозможным событием.

Рассмотрим пример на использование понятия условной вероятности. На каждой из 6 карточек написано по одной букве, из которых складывается слово «карета». Карточки перемешиваются и затем выкладываются по одной. Какова вероятность, что в порядке поступления букв образуется слово «ракета» ?

Так как букв 6, то вероятность выложить первой букву «р» (событие) равна 1/6. После этого у нас остается пять карточек и с учетом того, что букв «а» две =2/5. Исходя из таких же соображений, вероятности остальных букв будут соответственно ¼, 1/3, ½, 1, а искомая вероятность — .

(Убедиться в справедливости полученного результата можно с помощью очень несложного имитационного эксперимента.).

Рассмотрим еще один пример. Пусть есть потомок двух гибридов и известно, что он несет доминантный признак. Событие состоит в том, что потомок — гибрид, событие — в том, что он рецессив. Так как нам известно, что потомок несет доминантный признак, то события и несовместны. Предположим, что интерес представляет вероятность того, что потомок — гибрид, если он несет доминантный признак. Известно, что при скрещивании двух гибридов вероятность того, что потомок будет гибридом или чистым доминантом, равна соответственно ½ и ¼. Вероятность того, что потомок будет чистым рецессивом равна ¼. Следовательно,.

Если за событие считать, что потомок чистый доминант, то.

Используя введенное понятие условной вероятности можно сформулировать вторую основную теорему теории вероятностей — теорему умножения.

Теорема 2. Каковы бы ни были события и и каково бы ни было пространство элементарных исходов S, вероятность произведения равна.

(17).

Доказательство. Условием для справедливости теоремы является необходимость того, чтобы и не были бы невозможными событиями для данного S. Только в этом случае условные вероятности, входящие в (17) имеют смысл.

Все множество элементарных событий, для которого определены события и, как и в случае теоремы о сложении вероятностей, может быть разделено на 4 группы точек в соответствии с тем, относятся ли эти точки к обоим событиям и, только к одному из них, или ни к одному. Если все множество точек пространства элементарных событий обозначить через n, а через — число точек в каждой из указанных выше групп, т. е. будет соответствовать событию.

то.

(18).

(Для вычисления вероятности мы воспользовались формулой 13).

Если теперь подставить (18) в (17), то получим тождество, что и доказывает теорему.

Эта теорема легко обобщается на случай оценки вероятности произведения n событий. Имеет место формула.

(19).

Выше, рассматривая представления об условных вероятностях, мы привели соотношение (16) и предложили в качестве упражнения доказать его справедливость путем прямых вероятностных расчетов. Теперь, с использованием теоремы умножения можно предложить совсем другой, более тонкий подход.

В самом деле, — достоверное событие; отсюда вытекает, что эквивалентно произведению ()=+. Так как и несовместны, то — невозможное событие и, следовательно, эквивалентно, а значит.

.

Применяя теорему умножения к вероятности в правой части этого равенства, получим откуда и следует (16).

При использовании теорем сложения и умножения вероятностей очень важно обращать особое внимание на множество элементарных событий, к которым относятся упоминаемые в этих теоремах вероятности. Иногда об этом забывают и в результате возникают так называемые «парадоксы». Приведем искусственный пример.

Пусть очень строгий экзаменатор составил билеты с двумя вопросами так, что вероятность не ответить на первый () из них равна, а не ответить на второй () равна. Необходимо оценить вероятность того, что «неуд» будет получен за неудовлетворительный ответ на или .

На первый взгляд событие «не ответить на или на» есть сумма двух событий: «не ответить на «и «не ответить на «. После того, как студент не ответил на один вопрос, экзамен прекращается, и, следовательно, оба этих события несовместны. Тогда на основании теоремы сложения вероятностей получается парадоксальный результат:

(Студент, изучающий теорию вероятностей, в этом случае на экзамен не пойдет, поскольку неудовлетворительный итог более чем достоверен!).

На самом деле все обстоит не так плохо, и если задуматься над пространствами элементарных событий, то этот «парадокс» сразу исчезает. В самом деле, и относятся к разным пространствам элементарных событий, которые мы обозначим через и. Пространство может слагаться из попыток, когда студент достаточно хорошо подготовлен только по одной части курса, находящей свое отражение в вопросах, и ответ на является его единственной целью. К этому же пространству относятся попытки сначала ответить на, а потом уже на (а вдруг повезет, чем черт не шутит!). Аналогично пространство элементарных событий может слагаться из попыток ответить только на, если этот раздел усвоен лучше, или из ответов на, а уже затем на .

Отсюда видно, что пространства элементарных исходов и различаются между собой и использовать теорему сложения к вероятностям и нельзя. Более того, в той постановке задачи, которая была приведена выше, пространство элементарных исходов для не определено однозначно. Можно предположить, что относится к, совпадающему с и состоящему в том, что студент сначала отвечает на, и если ответ удовлетворителен, то переходит к. При таком предположении — условная вероятность неудовлетворительного ответа на второй вопрос, если известно, что на первый вопрос студент ответил. Тогда.

(ответ на оба вопроса/=.

=0,6+0,7−0,6 0,7=0,88.

Но можно себе представить, что относится к другому множеству элементарных событий, когда студент заранее решает, что будет отвечать только на один вопрос, а на какой именно определяет подбрасыванием монеты: выпадает «герб» — отвечает на первый, выпадает «решетка» — на второй. В этом случае нетрудно видеть, что.

.

Этот пример, также как и пример, приведенный в параграфе о геометрических вероятностях, показывает, что правильное и строгое определение пространства элементарных событий является принципиальным моментов при расчете вероятностей сложных событий.