Изучение нового материала

Ключевым элементом в структуре урока является изучение нового материале. С опорой на него или во взаимосвязи с ним решаются на уроках остальные вопросы; будь то закрепление, контроль и т. д. В процессе обучения математике оно сводится чаще всего к изучению математических понятий, предложений и доказательств. Можно при этом выделить три основных этапа: подготовку к восприятию, введение и первичное осмысление нового материала.

Этап подготовки к восприятию нового материала во многом связан с формированием опорных знаний. Этого, однако, может оказаться недостаточно для обеспечения готовности учащихся к получению новых знаний. Подобное чаще всего наблюдается в тех случаях, когда в процессе преподавания не уделяется должного внимания мотивировке изучения нового или актуализации опорных знаний. Рассмотрим в этой связи на конкретных примерах некоторые способы решения данной проблемы.

• 1. Подготовка к изучению, например, понятий остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников через выявление их существенных признаков и актуализацию опорных знаний может быть осуществлена в процессе предварительного решения следующей системы упражнений после рассмотрения теоремы о сумме углов треугольника:
  • — какой угол называется острым, прямым, тупым?
  • — изобразите какой-нибудь острый, прямой и тупой углы;
  • — если один из углов треугольника прямой, то чему равна сумма двух других углов?
  • -верно ли, что, если один из углов треугольника прямой, то два других угла будут острыми?
  • -если один из углов треугольника тупой, то будет ли сумма двух других углов меньше 90°?
  • -почему два угла треугольника будут острыми, если третий угол тупой?
  • -если все углы треугольника равны, то чему равен каждый из них?
  • -могут ли быть все утлы треугольника острыми?
  • -изобразите какой-нибудь треугольник, у которого один угол тупой;
  • -изобразите какой-нибудь треугольник, у которого один угол прямой;
  • -изобразите какой-нибудь треугольник, у которого все углы острые;
  • — как бы вы назвали каждый из трёх изображённых треугольников?

При подготовке к изучению других определяемых понятий возможно также использование практических примеров, показывающих целесообразность их изучения, соответствующих наглядных пособий, кратких исторических справок и т. п. Ну, а перед введением основных понятий желательно мотивировать факт невозможности определения всех математических понятий. Действительно, определяя некоторое математическое понятие, мы сводим его к более общему, которое в свою очередь при определении сводится к ещё более общему понятию и т. д. Но этот процесс не может быть бесконечным. Таким образом, мы придём к понятиям, не сводимым к другим, которые в математике принято называть основными или неопределяемыми.

2. В ходе подготовки учащихся к восприятию аксиом — математических предложений, описывающих свойства неопределяемых (основных) понятий и потому принимаемых без доказательств, — нельзя упустить главного. Оно отражается и в значении греческого слова аксиос, от которого произошло слово аксиома: это утверждение, не вызывающее сомнений. Иначе говоря, к восприятию содержания аксиом — будь то аксиомы арифметики, алгебры или геометрии — учащиеся должны быть подготовлены заранее. В том числе и через многократное выполнение разнообразных упражнений: рассмотрение и обсуждение частных случаев, моделей и т. д.

Подвести учащихся к восприятию формулировок теорем можно в ходе организованной совместно с ними деятельности по выдвижению гипотез. В частности, перед изучением теоремы о сумме внутренних углов треугольника заготавливаются несколько бумажных моделей различных треугольников. Вырезав ножницами все «углы» какого-нибудь треугольника, складываем затем их так, как показано на рисунке: .

Далее замечаем, что они образуют примерно развёрнутый угол. Проделав такие же действия с другими треугольниками, замечаем, что этот факт, видимо, не случаен. Теперь остаётся вместе с учениками составить и уточнить гипотезу: быть может, сумма углов любого треугольника равна 180°.

Предварить изучение других математических предложений — следствий, свойств, признаков, формул и т. д. — возможно также (наряду с отмеченными выше способами) через целенаправленное формирование вспомогательных навыков. Так, к моменту изучения формулы разности квадратов двух выражений все учащиеся должны научиться находить, читать и записывать:

• — сумму двух данных выражений;
• — их разность;
• — произведение суммы двух выражений и их разности;
• — квадраты данных выражений;
• — разность квадратов двух выражений;
• — разность квадратов двух выражений и квадрат разности двух выражений. Достигается это путём планомерного выполнения на нескольких уроках подряд соответствующих упражнений до формирования у учащихся устойчивых навыков по распознаванию, чтению и записи отмеченных выражений.
• 3. Чтобы подготовить учащихся к восприятию доказательств математических предложений, желательно, там где это возможно, предварительно рассмотреть реализацию идеи доказательства на частных случаях. К примеру, перед доказательством предложения о том, что графиком квадратичной функции у=ах2+bх+с является парабола, можно сначала решить задачу на построение графика функции у=3×2−6x+5. В ходе её решения выделением полного квадрата исходная формула приводится к виду у=3(x — 1)2 + 2, откуда следует, что графиком функции у=3×2 — 6х + 5 является парабола. Затем эта же идея реализуется в общем виде при обосновании рассматриваемого предложения.

Облегчить изучение доказательств может и предварительное выделение из них подзадач, решение которых рассматривается заранее. Так, перед изучением доказательства теоремы Пифагора по учебнику А. В. Погорелова можно выделить и предварительно решить следующие подзадачи.

Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С, a CD — его высота. Доказать, что:

• а) АС²=АВ * АD;
• б) ВС²=АВ * BD;
• в) CD²=AD * DB.

Рассматриваемые в этих подзадачах соотношения (они связаны с понятием среднего геометрического, которое при надобности можно ввести для использования в явном виде) не только облегчат восприятие доказательства теоремы Пифагора, но и с успехом могут быть применены при решении задач.

Не менее важно готовить учащихся к выбору тех или иных дополнительных построений, используемых при доказательствах теорем. Возвратимся в этой связи к примеру об использовании бумажных моделей при подготовке к изучению теоремы о сумме углов треугольника. Если заготовить заранее два равных треугольника, то один из них можно будет использовать для демонстрации, а другой — для вырезания необходимых элементов. Вместе с учащимися выясняем, что можно было бы вырезать только два «угла» треугольника, а потом сложить их с оставшимся. Каждый из двух вырезанных «углов» совмещается сначала с соответствующим углом демонстрационного треугольника, чтобы убедиться в их равенстве. Затем три угла складываются так, как показано на рисунке:

В этом случае, наряду с выдвижением гипотезы о сумме углов треугольника, обращается внимание ещё и на то, что образовавшаяся прямая при одной из вершин треугольника оказывается параллельной противолежащей стороне. Впоследствии же такое дополнительное построение может быть использовано при доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Среди различных способов ознакомления с новым материалом выделим следующие три: новый материал может быть объяснен самим учителем, в ходе совместной деятельности с учащимися либо отработан учащимися самостоятельно. Выбор каждого из этих способов зависит прежде всего от того, каким временем располагает учитель на уроке для изложения нового, степени готовности учащихся к его восприятию и содержания вводимых понятий, предложений и доказательств. Последнее рассмотрим подробнее на приводимых ниже примерах.

1. Изучение новых понятий, связано, как правило, с введением соответствующих определений, терминов, а порой и символов, их обозначающих. Вместе с тем важно уделить особое внимание выявлению в определениях (вне зависимости от способа определения понятий) определяющего (родового) понятия и существенных свойств (видовых отличий) определяемого понятия. Без этого не только осмысление, но и дальнейшее использование вводимых понятий становится проблематичным. Последовательность же реализации рассмотренных этапов введения математических понятий может быть различной.

Так, выполнение приведённой выше системы упражнений по подготовке к изучению видов треугольников в зависимости от величины их углов можно завершить введением соответствующих терминов и констатацией следующих положений:

• — в каждом случае мы рассматривали треугольники (устанавливается определяющее понятие);
• — в остроугольном треугольнике все углы острые, в прямоугольном — один из его углов прямой, в тупоугольном — один из его углов тупой (устанавливаются существенные признаки определяемого понятия).

Тогда последующее формулирование определений понятий остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников не вызывает затруднений у учащихся. В таких случаях можно предложить учащимся самостоятельно изучить соответствующий материал по учебнику.

Несколько иной подход характеризуется тем, что учитель сразу показывает учащимся возможный способ построения определяемого объекта и знакомит их с термином, его обозначающим. После этого формулирование определения нового понятия можно будет провести совместно с учениками. Например, изобразив угол АОВ и построив полупрямые ОС и OD, являющиеся продолжениями сторон данного утла, учитель затем сообщает, что углы АОВ и СOD называют вертикальными.

Далее учащимся предлагается попробовать сформулировать определение вертикальных углов. Ход обсуждения предлагаемых определений сводится к тому, чтобы заметить: мы имеем дело с двумя углами (определяющее понятие), стороны одного из которых являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла (существенный признак определяемого понятия). Отметим также, что выбору определения вертикальных углов способствует и избранный вначале способ построения определяемого объекта.

Иной путь связан с введением нового понятия самим учителем, скажем, в целях экономии времени. Проиллюстрируем его на примере введения понятия линейной функции:

• -учитель сразу формулирует определение нового понятия (линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у=kx+b, где x-независимая переменная, k и bнекоторые числа);
• -мотивирует обозначение его соответствующим термином, а там где требуется это, то и символом (сообщает, что термин «линейная» связан с графиком функции y=kx + b, который будет рассмотрен позднее);
• -выделяет в определении определяющее понятие (функция) и существенные свойства определяемого понятия (которую можно задать формулой y=kx + b, где х — независимая переменная, k и b — некоторые числа);
• -конкретными примерами (у=2х — 3, у=-х, у=8) иллюстрирует введённое понятие.

2. При любом способе введения математических предложений учащимся должны быть тщательно разъяснены их формулировки. Особые трудности здесь возникают в тех случаях, когда этап подготовки к их изучению не был эффективно использован. В самом деле, может ли быть успешным введение, например, аксиом принадлежности, если к моменту их изучения учащиеся допускают, в частности, такое изображение точки А, лежащей на прямой а:

Иначе говоря, не понимая смысла понятий и отношений, используемых в формулировках математических предложений, учащиеся не в состоянии уяснить их содержания в целом. Последнее же сводится к установлению по данным формулировкам математических предложений их условий и заключений. Так, если речь идёт о теореме, то это сводится к выделению и уяснению по её формулировке того, что «дано» и что «требуется доказать». К тому же и переход к доказательству теоремы, как правило, осуществляется лишь после выделения её условия и заключения.

Казалось бы, выделение условия и заключения теоремы по её формулировке не должно вызывать затруднений у учащихся. На самом же деле они не всегда в состоянии отделить их, особенно в тех случаях, когда формулировка теоремы дана в категоричной форме. Рассмотрим пример такой формулировки теоремы: вертикальные углы равны. Пытаясь выяснить здесь у учащихся, что «дано» и что «требуется доказать», мы можем порой поставить их в весьма затруднительное положение. Тогда каким же видится выход из подобных ситуаций? Он кроется в переформулировке теоремы из категоричной формы в условную. В рассматриваемом случае, переходя к условной формулировке теоремы, имеем: если два угла — вертикальные, то они равны. Здесь уже отмеченные трудности удаётся преодолеть благодаря появлению в условной формулировке теоремы явных ориентиров: её условие заключено между союзами «если» и «то», а заключение — за союзом «то» .

Конечно же вводить в употребление термины «категоричная» и «условная» формулировки теорем не следует. Однако умениями переводить формулировки теорем из категоричной в условную и наоборот надо владеть не только в рассматриваемом случае. Это могло бы понадобиться, в частности, и при выдвижении гипотез перед введением теорем, да и при «открытии» теорем, о чём речь будет идти ниже.

3. Объяснение учителем доказательств математических предложений не должно сводиться лишь к более подробному изложению соответствующего текста учебника. В противном случае возможно крайне нежелательное смещение акцентов в обучении: тогда оно содействует формальному заучиванию учащимися текстов доказательств без должного развития умений рассуждать и доказывать.

Осмысленному восприятию способствует первоначальное выделение идеи (плана) доказательства с последующим переходом к её детализации. К примеру, выяснив условие и заключение одного из признаков параллелограмма (если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм), можно сначала наметить идею доказательства:

установить, что AD||BC и AB||CD с помощью одного из признаков параллельности прямых. Для реализации же намеченного плана в четырёхугольнике ABCD проводим диагональ АС. Она разделяет его на два треугольника АВС и CDA. Эти треугольники равны по трём сторонам, а из их равенства следует равенство углов:

1=2 и 3=4.

Используя же признак параллельности прямых (на основании равенства накрест лежащих углов), заключаем, что AB||CD и АD||ВС. Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, он является параллелограммом.

Правда, и при этом ряд вопросов остаётся открытым. Как научиться, например, догадываться и проводить нужные дополнительные построения, выявлять идею или находить само доказательство? Заметим, что эти недостатки являются типичными для синтетического доказательства математического предложения (доказательства, ведущегося в направлении от его условия к заключению), пример которого мы только что рассмотрели. В этой связи уместно напомнить, что при изложении теории в учебниках используются, в основном, синтетические доказательства. Это обусловлено их достоинствами — исчерпывающей полнотой и краткостью. Применяя же в обучении только синтетические доказательства, мы обрекаем учащихся на пассивное наблюдение за ходом их проведения, так как выбираемая в ходе проводимого доказательства последовательность рассуждений становится им понятной, как правило, лишь после его завершения. Вот почему в рассмотренном примере перед проведением синтетического доказательства учащиеся были сначала ознакомлены с идеей, которую они будут затем реализовывать.

Другой путь решения, этой проблемы связан с использованием аналитического доказательства математического предложения — (доказательства, ведущегося в направлении от его заключения к условию). Рассмотрим пример аналитического доказательства того же самого признака параллелограмма.

Для того, чтобы четырёхугольник ABCD являлся параллелограммом (доказательство признака начинаем с его заключения), достаточно доказать, что AB||CD и AD||BC.

Для того, чтобы эти стороны четырёхугольника были параллельны, достаточно использовать один из признаков параллельности прямых: например, доказать равенство накрест лежащих углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей.

Такие накрест лежащие углы можно получить, если провести диагональ AC (1 и 2, а также 3 и 4).

Для доказательства равенства этих углов достаточно доказать равенство треугольников ABC и CDA.

Для доказательства равенства этих треугольников достаточно использовать один из признаков равенства треугольников: например, по трём сторонам.

Но эти равенства выполняются: AC — общая сторона, AB=CD и AD=BC (по условию). Признак доказан.

На этом примере можно убедиться в том, что использование аналитического метода позволяет мотивировать выполнение дополнительных построений и всей последовательности рассуждений при проведении доказательств. Однако даже в рассмотренном аналитическом доказательстве последовательность рассуждений на отдельных этапах могла пойти по пути, не приводящему к цели. Поэтому более универсальным представляется использование аналитико-синтетических доказательств с использованием как цепочек выводов, идущих от условия, так и цепочек выводов, ведущих к заключению. Затем, после замыкания этих цепочек, прослеживается всё доказательство от условия до заключения /29/.

Данная методика может быть с успехом использована не только для вовлечения учащихся в совместную с учителем деятельность по отысканию доказательств, но и для самостоятельного «открытия» ими теорем.

" Открытие" теорем учащимися возможно и в ходе специально организованной деятельности. Так, приступая к изучению теоремы Виета, учитель сначала предлагает учащимся выполнить следующую систему заданий:

• -вспомните, какие квадратные уравнения называют приведёнными и приведите примеры;
• -запишите приведённое квадратное уравнение х² + рx + q=0 и найдите значение его дискриминанта;
• -составьте формулы корней x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения;
• -найдите сумму корней x₁ и x₂ и сделайте вывод;
• — найдите произведение корней x₁ и x₂ и сделайте вывод.

Обобщая полученные результаты, учитель сообщает, что учащиеся «открыли» теорему Виета и разъясняет, почему она была так названа.

Наконец, доказательства вводимых математических предложений могут быть предложены учащимся для самостоятельного изучения. Предлагаемый при этом материал должен быть посильным для них, а при надобности учащиеся обязательно должны получать исчерпывающие разъяснения учителя по возникающим вопросам. Разумеется, ребят надо готовить к самостоятельному изучению доказательств математических предложений, но об этом мы уже говорили. В частности, если выделенные из доказательства теоремы Пифагора подзадачи, о которых шла речь, были заранее решены, то при самостоятельном изучении теоремы Пифагора по учебнику А. В. Погорелова основные трудности окажутся снятыми. В самом деле, учащимся в этом случае остаётся разобраться только в том, как находится сумма квадратов катетов.

Конечно же, мы отчасти затрагиваем здесь и вопросы, связанные с решением более общей проблемы — формирования готовности учащихся к самообразованию, что, в свою очередь, является темой для специального разговора.

Первичное осмысление учащимися нового материала в большей степени связано с осознанием определений вводимых понятий, формулировок математических предложений и осуществлённых доказательств.

Осознание учащимися определений математических понятий достигается главным образом в процессе формирования у них умений:

• -выделять в определениях родовые (определяющие) понятия и видовые отличия (существенные свойства) определяемого понятия;
• -устанавливать принадлежность рассматриваемого объекта к введённому понятию с помощью определения, т. е. выяснять, относится ли он к родовому понятию и обладает ли видовыми отличиями;
• -в случае принадлежности объекта к введённому понятию устанавливать совокупность свойств, которыми он обладает по определению: она состоит из всех известных свойств родового понятия и видовых отличий.

Осмысление же учащимися математических предложений и доказательств достигается прежде всего в ходе овладения ими умений:

• -устанавливать по предложенным формулировкам математических предложений их условия и заключения;
• -выявлять идею (план) выполненного доказательства математического предложения;
• -применять введённое математическое предложение в простейших случаях.

Управление деятельностью учащихся при изучении нового материала должно осуществляться и с учётом психолого-дидактических закономерностей /47/. Особое внимание при этом следует обратить на то, что при пассивном участии многое ускользает от внимания обучающегося. К более же полному, богатому восприятию приводит активная, мыслительная деятельность, которая по ходу ознакомления с материалом возрастает, если соблюдаются следующие условия:

• -учащийся, ознакомляясь с материалом, одновременно выполняет конкретное задание, помогающее глубже понять данный материал;
• -это задание направляет усилия учащегося на использование определённого приёма мыслительной деятельности (сравнения, конкретизации и т. п.);
• -данный приём соответствует содержанию материала, и чем в большей мере, тем сильнее активизируется деятельность;
• -учащийся обладает знаниями, необходимыми для выполнения задания, и навыками применения данного приема;
• -материал не является чрезмерно лёгким.

В конечном счёте, надобно обеспечить «ориентировку» в новом материале /36, 264/, которая достигается фиксированием его основного содержания, подлежащего усвоению, и способов работы с ним. Данная система ориентиров («ориентировочная основа действий») должна быть представлена в таком виде, чтобы ученик мог правильно воспользоваться ими с первого же раза, пусть даже поначалу и медленно. В этих целях употребляются краткие схематические записи, соответствующие образцы применения нового материала при решении задач и т. д.

Безусловно, при изучении нового материала лишь начинают решаться вопросы, связанные с его усвоением, т. е. пониманием, запоминанием, умениями его применять. Дальнейшее же развитие эти процессы получают при закреплении изученного, что специально рассматривается нами вслед за изложенным.