Отбор содержания урока

Поставленные учителем цели непосредственным образом влияют на отбор содержания материала учебника, относящегося к теме урока. Оно может быть использовано полностью, частично или дополнено так, чтобы способствовать достижению намеченного уровня усвоения учащимися соответствующих знаний и умений.

При таком выборе учитываются и результаты анализа учебного материала, полученные в ходе предварительной подготовки к уроку: место и роль содержания материала в изучении темы, раздела, курса; его взаимосвязь с ранее изученным и тем материалом, который будет изучаться в дальнейшем и т. д.

В целом же система отбора содержания материала в русле непосредственной подготовки к уроку несомненно должна включать следующие действия учителя:

• 1. Основательно изучить содержание пункта, пунктов, (параграфа) учебника, относящегося к теме урока. Выделить все встречающиеся в нем символы, обозначения, термины и понятия; факты и математические предложения в виде аксиом, теорем, признаков, свойств, законов, формул и др.; указания, алгоритмы и правила их применения; математические доказательства. Выяснить происхождение, правильную запись и чтение символов, обозначений, терминов и пр. Проверить, какие из встречающихся понятий являются основными; какие могут быть определены в изучаемом курсе, но не определяются в соответствии с дидактическими принципами обучения; какие понятия определяются, каковы их формулировки, которые, в свою очередь, надобно знать учителю дословно, равно как и формулировки математических предложений. Разобраться в приводимых в объяснительном тексте доказательствах, выявить их логическую структуру, выяснить, являются ли рассматриваемые рассуждения индуктивными, дедуктивными или включают элементы индукции и дедукции, имеются ли в них логические пробелы, мотивируется ли отсутствие доказательств математических предложений, применяемых в осваиваемом материале и т. д., проверить себя в умении свободно воспроизводить изучаемые доказательства.
• 2. Решить все задачи из учебника, включенные в рассматриваемый пункт (пункты, параграф) и относящиеся к нему. Распределить их по блокам, назначение которых связано: с усвоением вновь вводимых символов, обозначений, понятий; непосредственным применением изучаемой теоремы, правила, формулы; использованием новых приемов решения задач в совокупности с ранее изученным материалом и т. д. Внутри каждого блока выявить пробелы в последовательном нарастании сложности и трудности задач для последующего их пополнения. Проверить наличие стандартных, обучающих, поисковых, проблемных, задач и т. д.
• 3. Привести содержание учебного материала в соответствие с требованиями стандарта, программы и рекомендаций, изложенных в учебно-методических пособиях. Выявить материал, подлежащий усвоению как на обязательном уровне подготовки, так и на уровне возможностей. Разобраться с методической характеристикой содержания материала, пояснениями и комментариями к нему, особенностями изучения, возможными подходами к его изложению и закреплению. Рассмотреть указания к упражнениям в учебнике и определиться с образцами оформления записей. Ознакомиться и подобрать различные системы дополнительных заданий: контрольные вопросы, устные упражнения, математические диктанты, тесты, задания на готовых чертежах, игровые упражнения, задачи повышенной трудности и т. д.
• 4. Учесть направления организации содержания материала, разработанные при тематическом планировании. Уточнить роль и место изучаемого материала в теме и курсе; содержание материала, необходимого для организации повторения, установления межпредметных связей, проведения самостоятельных и контрольных работ и т. д.
• 5. Проверить возможности реализации поставленных целей урока с помощью материалов учебника. В случае необходимости дополнить его отобранными ранее Материалами для достижения образовательных целей. Обратить в то же время особое внимание на усиление его воспитывающего и развивающего влияния: насыщение изучаемого материала примерами, сведениями, фактами из повседневной действительности; углубление практической и прикладной направленности изучаемого материала; выявление эстетического содержания учебного материала; привлечение логических упражнений, занимательных и старинных задач, исторических сведений; целенаправленное формирование навыков самоконтроля и т. д.
• 6. Выделить в содержании урока самое главное, чтобы скомпоновать вокруг него весь используемый материал и сконцентрировать внимание учащихся на его усвоении. Наиболее существенное в содержании урока определяется путем выделения его основной идеи, логически завершенных частей, опорных понятий и предложений, подлежащих усвоению, применению и проверке и т. д.
• 7. Дифференцировать содержание учебного материала с целью интенсификации самостоятельной познавательной деятельности наиболее подготовленных учащихся и активизации помощи слабоуспевающим. Подобрать индивидуальные и групповые задания, основанные на адекватной оценке возможностей каждого ученика и направленные на решение не только задач образования и развития, но и воспитания. Это касается, в частности, воспитания сознательной дисциплины учащихся через вовлечение каждого ученика в активную и посильную самостоятельную учебную деятельность, воспитания воли и характера и т. п.
• 8. Завершить отбор из учебника и других источников содержания учебного материала с таким расчетом, чтобы не перегрузить урок и обеспечить усвоение учащимися необходимых знаний и умений. Другими словами, Привести отобранное содержание урока в соответствие со временем, отводимым на его проведение. Для организации работы в классе и дома, а также реализации возможного резерва времени на уроке распределить соответствующим образом весь отобранный материал.

Рассмотрим в качестве примера процедуру отбора содержания учебного материала к уроку по теме «Решение квадратных уравнений по формуле» с использованием учебника «Алгебра, 8» Ю. Н. Макарычева и др.

• 1. Изучая содержание объяснительного текста одноименного пункта учебника, выделяем все встречающиеся в нем:
  • -символы и обозначения, запись которых осуществляется с использованием цифр, букв, знаков препинания, черты дроби, знаков операций, знаков равно, не равно, больше, меньше, меньше или равно и больше или равно; новыми являются обозначение дискриминанта квадратного уравнения и запись формулы корней квадратного уравнения;
  • -понятия формулы, уравнения, корня уравнения, понятия «решить уравнение», числа, дроби, числителя, знаменателя, четного числа, положительного и отрицательного чисел, выражения, операции, значения выражения, преобразования (тождественного) выражений, равносильных уравнений, квадрата двучлена, квадратного уравнения, дискриминанта квадратного уравнения, коэффициентов квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения;
  • -факты, математические предложения и их применение в виде свойств равносильности уравнений, приведения подобных слагаемых, раскрытия скобок, сложения и вычитания; дробей, выделения квадрата двучлена, решения уравнения х²=а, формулы корней квадратного уравнения, формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом, алгоритма решения квадратного уравнения по формуле;
  • -доказательства формул корней квадратного уравнения и квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом.

Выясняем происхождение, правильную запись и чтение впервые вводимых символов, обозначений, терминов и пр., а при надобности и рассмотренных ранее.

Устанавливаем, что из встречаемых понятий к основным относится понятие числа; к понятиям, которые могут быть определены, но не определяются в соответствии с дидактическими принципами обучения, относится понятие операции; к определяемым понятиям относятся все остальные. Из них понятия формулы, уравнения, корня уравнения, понятие «решить уравнение», дроби, числителя и знаменателя определяются в 5 классе; понятия четного числа, положительного и отрицательного чисел в 6 классе; понятия выражения, значения выражения, тождественного преобразования выражения, равносильных уравнений, квадрата двучлена — в 7 классе, а оставшиеся — в 8 классе. Знание места введения рассматриваемых понятий, равно как и математических предложений, позволяет учителю при необходимости воспроизвести в памяти их дословные формулировки.

Разбирая доказательство формулы корней квадратного уравнения, обращаем внимание на то, что индуктивно выявленный способ нахождения корней квадратного уравнения выделением квадрата двучлена, реализуется затем при решении квадратного уравнения в общем виде на дедуктивной основе. Непосредственным же применением полученной формулы выводится и формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Казалось бы, при решении квадратных уравнений по формуле не должно возникать каких-либо трудностей, тем более, что в учебнике даётся алгоритм его применения. Попытаемся, однако, решить уравнение: 18х²-90х+108=0, следуя указаниям, изложенным в учебнике. Тогда мы сразу же заметим, что напрашивающееся предварительное его упрощение (делением обеих частей квадратного уравнения на 18, т. е. его приведением к заранее оговоренному каноническому виду) не предусмотрено в объяснительном тексте учебника, хотя с подобными ситуациями учащиеся будут встречаться неоднократно. Вскрывая же такие пробелы, учитель, может своевременно вносить коррективы в процесс формирования соответствующих умений, в данном случае умений рационального решения квадратных уравнений по формуле.

2. Решаем все упражнения NN 533−555, включенные в п. 21, и NN 641−647 из дополнительных упражнений, относящихся к нему. Затруднения у учителя могут возникнуть, пожалуй, лишь при решении последнего упражнения: доказать, что если уравнение сх2+bx+а=0, где и, имеет корни, то они обратны корням уравнения ах2+bх+с=0.

При его решении следует заметить, чти для обоих уравнений и.

Корни первого уравнения равны:

и ,.

а второго и .

Далее составляем и вычисляем произведение:

.

Аналогично, что и доказывает исходное утверждение.

Распределяем упражнения по блокам:

• -подготовительные упражнения — № 533, используемые для отработки умений вычислять дискриминант и устанавливать с его помощью число корней квадратного уравнения;
• -упражнения для непосредственного применения выведенных формул — NN 534,535(а, б), 536,539,540,541,641;
• -решение квадратных уравнений по формуле, допускающих предварительное упрощение коэффициентов, и целых уравнений, приводимых к квадратным, — NN 535(б, г, д, е), 542−547,550−552,642;
• -применение выведенных формул в совокупности с ранее изученным материалом — NN 537, 538,-548, 549, 643−647;
• -упражнения для повторения — NN 553−555. Более всего в пополнении нуждается блок подготовительных упражнений, в котором отсутствуют задания для отработки умений верно устанавливать значения многих выражений, входящих в формулу корней квадратного уравнения: b, -b, b², 2а, -4ас и т. д. В блоке упражнений для непосредственного применения выведенных формул последовательное нарастание сложности и трудности содержащихся в нём задач естественно продолжить решением квадратных уравнений с иррациональными коэффициентами. Практически не уделяется внимания на проведение самоконтроля в фабулах задач. Нет упражнений, фабулы которых содержали бы явную установку на предварительное упрощение коэффициентов квадратных уравнений в подходящих случаях перед их решением по формуле. Применение выведенных формул в совокупности с ранее изученным материалом можно продолжить и на примерах решения различными способами неполных квадратных уравнений с последующим их обсуждением. В упражнениях для повторения напрашивается подключение задач с использованием формул квадратов суммы и разности, применявшихся в объяснительном тексте изучаемого пункта. Почти все рассматриваемые задачи являются стандартными и обучающими. К поисковым можно отнести с определенными оговорками лишь упражнение № 647, а проблемные задачи вообще отсутствуют.
• 3. В соответствии с требованиями стандарта и программы выделяем материал пункта, подлежащий усвоению на обязательном уровне подготовки: знание формулы корней квадратного уравнения для общего случая и умения решать задачи типа №№ 533−536, 539−547; 641−643. Уровень возможностей дополняется знанием формулы корней с четным вторым коэффициентом и умениями решать задачи типа №№ 537,538,548−552,644−647.

Рассматриваем в учебно-методических пособиях /61,89, 107,158,161,221,279 и др./ характеристику содержания изучаемого материала и комментарии к нему и обращаем особое внимание на методику его изложения, применения и оформления записей. Так, чтобы облегчить усвоение учащимися вывода основной формулы корней квадратного уравнения, его можно провести параллельно с предварительно решённым квадратным уравнением с числовыми коэффициентами выделением квадрата двучлена. А перед применением формулы и оформлением записей сделать выбор из рекомендуемых двух основных подходов, суть которых можно пояснить на примере решения квадратного уравнения 6х²+х-2=0.

1 подход. Найдем дискриминант: .

Применим формулу корней квадратного уравнения: .

Отсюда .

Ответ: .

II подход. Здесь а=6, b=1, c=-2. По формуле корней квадратного уравнения находим: ,.

откуда .

Ответ: .

Ознакамливаемся, подбираем, а при надобности составляем различные дополнительные системы заданий, приводимых ниже.

Математические диктанты, содержание которых составляют задачи типа:

• 1) Запишите приведенное квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный члены равны -2.
• 2) Составьте неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен -5, а свободный член равен 7.
• 3) Вычислите дискриминант квадратного уравнения 3х²-8х-3=0.
• 4) При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?
• 5) Проверить, являются ли числа 2 и 3 корнями квадратного уравнения х²+х-6=0?

Игровые упражнения, игры и, в частности, «Молчанка» .

В данной игре при решении конкретного квадратного уравнения учитель — одна из соревнующихся сторон — выключается из процесса их устного обоснования. Вся деятельность в плане разъяснения каждого предпринимаемого шага, таким образом, перекладывается на учащихся, предельно сосредотачивающихся на взаимном контроле: нужно внимательно слушать товарищей и постоянно проверять верность их ответов. Они высказываются по жесту учителя. Если ученик верно и аргументировано изложил некоторую фразу, то учитель молча на доске, а учащиеся в тетрадях, одновременно с ним, делают соответствующие записи. В противном случае — никаких записей не делается и слово предоставляется другому ученику.

Победителем признаются учащиеся, если при выполнении правил игры решение уравнения будет доведено до конца, а если нет — то учитель.

Различные виды тестов:

• -на заполнение пропусков в истинном утверждении, в формулировке определения;
• -на определение истинности или ложности утверждения, правильности формулировки определения;
• -с выбором верного ответа, который предлагается вместе с несколькими другими;
• -на установление соответствия между условием и заключением утверждения, между условием задания и его решением и др.

Этот перечень по мере необходимости можно продолжить .

Значимость изучаемого материала, существенно расширяющего аппарат уравнений и систематически используемого в курсах математики и смежных дисциплин, усиливается применением соответствующих упражнений, например, из сборника «Задания для проведения письменного экзамена по математике в IX классе». Это упражнения 1.205,1.216−1.220,2.101- 2.103, 2.522, которые наряду с остальными не должны выпадать из поля зрения учителя и учащихся на всем протяжении обучения в основной школе. Из их числа дополнительно подбираем и задания для повторения ранее пройденного материала.

Углубления внутрипредметных и межпредметных связей можно достичь, уделив, к примеру, больше внимания рещению уравнения х²+х-1=0, ибо к нему сводится задача золотого сечения отрезка, длина которого принимается равной 1.

Тогда. Полезно знать и другие удобные в применении приближенные значения найденного решения: .

Обусловлено это тем, что золотое сечение или близкие ему пропорциональные отношения положены в основу композиционного построения многих творений природы, произведений мирового искусства и пр.

Выясняем, какие квадратные уравнения и сводящиеся к ним предлагаются для решения в самостоятельных и контрольных работах из дидактических материалов с учетом конкретных условий вносим в их содержание необходимые коррективы.

5. Содержание изучаемого пункта учебника позволяет, в основном, реализовывать образовательные цели урока, поэтому оно нуждается также в насыщении материалом для решения задач воспитания и развития.

В этих целях желательны, например, испытания получаемых результатов при решении квадратных уравнений не только с помощью готовых образцов (ответов), но и составленных. Иначе говоря, при отсутствии ответов к упражнениям целесообразно воспользоваться подходящими приемами самоконтроля для проверки получаемых результатов с последующим обсуждением способов проведения контролирующих действий и выбором наиболее надежных из них. Все это способствует воспитанию ответственности учащихся за результаты своего учебного труда.

Из других примеров обратим внимание на усиление интереса к изучаемому материалу через привлечение исторических сведений и старинных задач. В этой связи можно поставить, например, перед учащимися следующие проблемы:

• — Кем и когда был введен в употребление термин «квадратное уравнение» ?
• — Кому впервые удалось сформулировать общее правило решения квадратных уравнений?
• — Как бы вы решили уравнение

Кто является автором этой задачи?

• 6. Главное в содержании рассматриваемого материала связано с формулой корней для общего случая квадратного уравнения. Ведущая идея, реализуемая при ее выводе, кроется в используемом способе решения квадратных уравнений — выделении квадрата двучлена. Основными же формируемыми умениями являются правильное применение этой формулы и проверка получаемых результатов.
• 7. Подбираем материал для вовлечения в посильную самостоятельную деятельность различных категорий учащихся, в особенности, наиболее подготовленных и слабоуспевающих.

Для активизации помощи слабоуспевающим можно использовать карточки — консультации. Их применение позволяет привлечь необходимые теоретические сведения и образцы выполнения поэтапных действий при формировании умений на уровне обязательной подготовки. В данном случае — умений решать квадратные уравнения по формуле. Приведем примерное содержания таких карточек.

Карточка 1 Определение квадратного уравнения Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bх+с=0, где х-переменная, а, b и с — некоторые числа, причем .

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом и с— свободным членом.

I.Дополнить таблицу, находя коэффициенты квадратного уравнения.

Квадратное уравнение.	Коэффициенты квадратного уравнения.
a	b	c
2x2-x+7=0		— 1.
x2-5x-7=0

II.Дополнить таблицу, составляя квадратное уравнение по заданным коэффициентам.

Коэффициенты квадратного уравнения.	Квадратное уравнение.
a	b	c
	— 5.		2х2-5х-3=0
	— 8.

Карточка 2 Дискриминант Выражение b²-4ac, где а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения ах²+bх+с=0, называется дискриминантом и обозначается буквой D, т. е. D =b²-4ac.

I.Дополнить таблицу, находя значения выражений.

Квадратное уравнение.	Выражения, составленные с помощью коэффициентов квадратного уравнения.
b	-b	a	2a	ac
2x2-5x-3=0	— 5.
5x2-8x+3=0

II.Дополнить таблицу, вычисляя значение дискриминанта.

Квадратное уравнение.	Выражения.
b2	4ac	D
2x2-5x-3=0	(-5)2=25.	25-(-24)=49.
5x2-8x+3=0

Карточка 3.

Решение квадратных уравнений по формуле

Формула корней квадратного уравнения ах²+bх+с=0, где имеет вид, где .

Дополнить таблицу, решая квадратное уравнение.

Квадратное уравнение.	Найти D.	Сравнить значение D с 0.	Найти корни квадратного уравнения.
ах2+bх+с=0	D>0
	D=0
	D<0	корней нет.
2x2-5x-3=0		D>0
5x2-8x+3=0

Для наиболее подготовленных учащихся в карточки-задания включаются задачи повышенной трудности, олимпиадного характера, задачи вступительных экзаменов в вузы и т. п.

Наряду с индивидуальными можно использовать дифференцированные задания для групповых форм организации деятельности учащихся: самостоятельных работ, лабораторных и практических занятий и т. д.

8. Отобранный выше материал распределяем между тремя уроками, предусмотренными разработанным ранее тематическим планированием на решение квадратных уравнений по формуле. Проверяем соответствие объема содержания каждого урока отводимому на его проведение времени с тем, чтобы не допустить их перегрузки. Выделяем задания для работы в классе и дома, на случай возможного появления резерва времени на уроке и т. д.