Собственный механический и магнитный моменты (спин)

ОБОСНОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ СПИНА. Уравнение Шредингера позволяет рассчитать энергетический спектр водорода и более сложных атомов. Однако, экспериментальное определение уровней энергии атомов показало, что полного совпадения теории с опытом нет. Точные измерения обнаружили тонкую структуру уровней. Все уровни, кроме основного, расщеплены на ряд очень близких подуровней. В частности, первый возбуждённый уровень атома водорода (n = 2) расщеплён на два подуровня с разностью энергий всего 4,5•10^-5 эВ. У тяжёлых атомов величина тонкого расщепления значительно больше, чем у лёгких.

Объяснить это расхождение теории с опытом удалось с помощью предположения (Уленбек, Гаудсмит, 1925 г.), что электрон обладает ещё одной внутренней степенью свободы — спином. Согласно этому предположению электрон и большинство других элементарных частиц наряду с орбитальным моментом импульса имеют ещё и собственный механический момент импульса. Этот собственный момент и называется спином.

Наличие спина у микрочастицы означает, что в некоторых отношениях она подобна маленькому вращающемуся волчку. Однако эта аналогия чисто формальная, так как квантовые законы существенно изменяют свойства момента импульса. Собственный момент согласно квантовой теории может быть у точечной микрочастицы. Важное и нетривиальное квантовое свойство спина состоит в том, что только он может задавать выделенную ориентацию в частице.

Наличие собственного механического момента у электрически заряженных частиц приводит к появлению у них собственного (спинового) магнитного момента, направленного в зависимости от знака заряда параллельно (заряд положительный) или антипараллельно (заряд отрицательный) вектору спина. Собственный магнитный момент может быть и у нейтральной частицы, например, у нейтрона.

На существование у электрона спина указали опыты Штерна и Герлаха (1922 г.) по наблюдению расщепления узкого пучка атомов серебра под действием неоднородного магнитного поля (в однородном поле момент лишь меняет ориентацию; только в неоднородном поле он движется поступательно либо вдоль поля, либо против в зависимости от направления по отношению к полю). Невозбуждённые атомы серебра находятся в сферически симметричном s-состоянии, то есть с орбитальным моментом, равным нулю. Магнитный момент системы, связанный с орбитальным движением электрона (как и в классической теории), прямо пропорционален механическому моменту. Если последний равен нулю, то должен быть равен нулю и магнитный момент. Значит внешнее магнитное поле не должно влиять на движение атомов серебра в основном состоянии. Опыт же показывает, что такое влияние есть.

На опыте происходило расщепление пучка атомов серебра, щелочных металлов и водорода, но всегда наблюдалось только два пучка, одинаково отклонённых в противоположные стороны и расположенных симметрично относительно пучка в отсутствие магнитного поля. Это можно объяснить только тем, что магнитный момент валентного электрона при наличии поля может принимать два значения, одинаковые по модулю и противоположные по знаку.

Результаты опытов приводят к выводу, что расщепление в магнитном поле пучка атомов первой группы Периодической системы, заведомо находящихся в s-состоянии, на два компонента объясняется двумя возможными состояниями спинового магнитного момента валентного электрона .Величина проекции магнитного момента на направление магнитного поля (именно она определяет эффект отклонения), найденная из опытов Штерна и Герлаха, оказалась равной так называемому магнетону Бора

Тонкая структура уровней энергии атомов, имеющих один валентный электрон, объясняется наличием у электрона спина следующим образом. В атомах (исключая s-состояния) вследствие орбитального движения существуют электрические токи, магнитное поле которых оказывает воздействие на спиновый магнитный момент (так называемое спин-орбитальное взаимодействие). Магнитный момент электрона может ориентироваться либо по полю, либо против поля. Состояния с разными ориентациями спина несколько различаются по энергиям, что и приводит к расщеплению каждого уровня на два. У атомов с несколькими электронами во внешней оболочке тонкая структура будет более сложной. Так у гелия, имеющего два электрона, имеют место одиночные линии (синглеты) в случае антипараллельных спинов электронов (суммарный спин нулевой — парагелий) и тройные (триплеты) в случае параллельных спинов (суммарный спин равен h — ортогелий), которые соответствуют трём возможным проекциям на направление магнитного поля орбитальных токов суммарного спина двух электронов (+h, 0, -h).

Таким образом, ряд фактов привёл к необходимости приписать электронам новую внутреннюю степень свободы. Для полного описания состояния наряду с тремя координатами или любой другой тройкой величин, составляющих квантово-механический набор, надо ещё задавать величину проекции спина на выбранное направление (модуль спина указывать не нужно, ибо как показывает опыт, ни у одной частицы он не меняется ни при каких обстоятельствах).

Проекция спина, как и проекция орбитального момента, может меняться на величину, кратную h. Так как наблюдались только две ориентации спина электрона Уленбек и Гаудсмит предположили, что проекция спина электрона S_z на любое направление может принимать два значения: S_z = ±h/2.

В 1928 г. Дирак получил релятивистское квантовое уравнение для электрона, из которого вытекает существование и спина электрона h/2 без каких-либо специальных гипотез.

Такой же как у электрона спин ½ имеют протон, нейтрон. Спин фотона равен 1. Но так как масса фотона равна нулю, то возможны две, а не три его проекции +1 и -1. Этим двум проекциям в электродинамике Максвелла соответствуют две возможные циркулярные поляризации электромагнитной волны по и против часовой стрелки относительно направления распространения.

СВОЙСТВА ПОЛНОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. И орбитальный момент М, и спиновый момент S представляют собой величины, принимающие лишь квантовые дискретные значения. Рассмотрим теперь полный момент импульса, являющийся векторной суммой упомянутых моментов.

Оператор полного момента импульса определим в виде суммы операторов и.

.

Операторы и коммутируют, так как оператор действует на координаты, а оператор на них не действует. Можно показать, что.

; ;

то есть проекции полного момента импульса не коммутируют друг с другом точно так же, как и проекции орбитального момента. Оператор же коммутирует с любой проекцией, откуда следует, что оператор и оператор любой (но одной) проекции соответствуют физическим величинам и, относящихся к числу одновременно измеримых. Оператор коммутирует также с операторами и .

Состояние электрона в поле центральной силы мы определяли тремя квантовыми числами: n, l, m. Квантовые уровни Е_n в общем определялись двумя квантовыми числами n, l. При этом не учитывали спин электрона. Если учесть ещё и спин, то каждое состояние окажется в сущности двойным, так как возможны две ориентации спина S_z = hm_s; m_s = ±½. Таким образом, к трём квантовым числам присоединяется четвёртое m_s, то есть волновая функция с учётом спина должна обозначаться .

Для каждого терма Е_{n, l} мы имеем (2l + 1) состояний, отличающихся ориентацией орбитального момента (числом m), каждое из которых в сою очередь распадается на два состояния, отличающихся спином. Таким образом, налицо 2(2l + 1) -кратное вырождение.

Если учесть теперь слабое взаимодействие спина с магнитным полем орбитальных токов, то энергия состояния будет зависеть ещё от ориентации спина относительно орбитального момента. Изменение энергии при таком взаимодействии мало по сравнению с разностью энергий между уровнями с разными n, l и поэтому возникающие новые линии близки друг к другу.

Таким образом, различием в ориентациях спинового момента по отношению к внутреннему магнитному полю атома можно объяснить происхождение мультиплетности спектральных линий. Из изложенного следует, что для атомов с одним оптическим электроном возможны только дублеты (двойные линии) благодаря двум ориентациям спина электрона. Этот вывод подтверждается экспериментальными данными. Обратимся теперь к нумерации уровней атома с учётом мультиплетной структуры. При учёте спин-орбитального взаимодействия ни орбитальный момент, ни спиновый не имеют определённого значения в состоянии с определённой энергией (операторы и не коммутируют с оператором). По классической механике мы имели бы прецессию векторов и вокруг вектора полного момента, как показано на рис. 20. Полный момент остаётся при этом постоянным. Аналогичное положение имеет место и в квантовой механике. При учёте спинового взаимодействия только полный момент имеет определённое значение в состоянии с заданной энергией (оператор коммутирует с оператором). Поэтому при учёте спин-орбитального взаимодействия состояние следует классифицировать по значению полного момента. Полный момент квантуется по тем же правилам, что и орбитальный момент. Именно, если ввести квантовое число j, задающее момент J, то, А проекция на некоторое направление 0z имеет значение J_z = hm_j, при этом j = l +l_s (l_s = Ѕ), если спин параллелен моменту орбитальному, и j = | l — l_s |, если они антипараллельны. Подобным образом m_j = m + m_s (m_s = ±½). Так как l, m — целые числа, а l_s , l_m — половинки, то.

j = ½, 3/2, 5/2, …; m_j = ±½, ±3/2, …, ±j.

Рис. 20.

В зависимости от ориентации спина энергия терма будет различной, а именно она будет для j = l + Ѕ и j = |l — Ѕ|. Поэтому в таком случае уровни энергии следует характеризовать числами n, l и числом j, определяющим полный момент, то есть Е =Е_nlj .

Волновые функции будут зависеть от спиновой переменной S_z и будут различны для разных j: .

Квантовые уровни при заданном l, различающиеся значением j, близки друг к другу (отличаются на энергию спин-орбитального взаимодействия). Четвёрка чисел n, l, j, m_j могут принимать такие значения:

n= 1, 2, 3,…; l = 0, 1, 2,…, n — 1; j = l + l_s или |l — l_s|; l_s = ±½;

-j? m_j ? j.

Величину орбитального момента l обозначают в спектроскопии буквами s, p, d, f и т. д. Главное квантовое число ставят впереди буквы. Справа внизу указывают число j. Поэтому, например, уровень (терм) с n = 3, l = 1, j = 3/2 обозначают так 3р_3/2. На рис. 21 приведена схема уровней водородоподобного атома с учётом мультиплетной структуры. Линии 5890? и 5896? образуют.

Рис. 21.

известный дублет натрия: жёлтые линии D2 и D1. 2s-терм далеко отодвинут от 2р-термов, как это и должно быть в водородоподобных атомах (l-вырождение снято).

Каждому из рассмотренных уровней E_nl принадлежит (2j + 1) состояний, отличающихся числом m_j, то есть ориентацией полного момента J в пространстве. Только при наложении внешнего поля эти сливающиеся уровни могут разделиться. В отсутствие такого поля мы имеем (2j + 1)-кратное вырождение. Так терм 2s_½ имеет вырождение 2: два состояния, отличающиеся ориентацией спина. Терм 2р_3/2 имеет четырёхкратное вырождение соответственно ориентациям момента J, m_j = ±½, ±3/2.

ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА. П. Зееман, изучая спектр излучения паров натрия, помещённого во внешнее магнитное поле, обнаружил расщепление спектральных линий на несколько компонент. Впоследствии на основе квантово-механических представлений это явление было объяснено расщеплением в магнитном поле энергетических уровней атома.

Электроны в атоме могут находиться лишь в определённых дискретных состояниях, при перемене которых осуществляется испускание или поглощение кванта света. Энергия атомного уровня зависит от полного орбитального момента, характеризуемого орбитальным квантовым числом L, и полного спина его электронов, характеризуемого спиновым квантовым числом S. Число L может принимать только целые, а число S — целые и полуцелые (в единицах h). По направлению же они могут принимать соответственно (2L + 1) и (2S + 1) положений в пространстве. Поэтому уровень с данными L и S вырожден: он состоит из (2L + 1)(2S +1) подуровней, энергии которых (если не учитывать спин-орбитальное взаимодействие) совпадают.

Спин-орбитальное взаимодействие приводит, однако, к тому, что энергия уровней зависит не только от величин L и S, но и от взаимного расположения векторов орбитального момента и спина. Поэтому энергия оказывается зависящей и от полного момента М = М_L + M_S, определяемого квантовым числом J, а уровень с заданными L и S расщепляется на несколько подуровней (образующих мультиплет) с различными J. Такое расщепление называют тонкой структурой уровней. Благодаря тонкой структуре оказываются расщеплёнными и спектральные линии. Например, D-линия натрия отвечает переходу с уровня L = 1, S = Ѕ на уровень с L = 0, S = Ѕ. Первый из них (уровней) — дублет, соответствующий возможным значениям J = 3/2 и J = Ѕ (J = L + S; S = ±½), а второй не обладает тонкой структурой. Поэтому D-линия состоит из двух очень близких линий с длинами волн 5896? и 5890 ?.

Каждый уровень мультиплета ещё остаётся вырожденным из-за возможности ориентации полного механического момента в пространстве по (2j + 1) направлениям. В магнитном поле это вырождение снимается. Магнитный момент атома взаимодействует с полем, а энергия такого взаимодействия зависит от направления. Поэтому в зависимости от направления атом приобретает в магнитном поле различную дополнительную энергию, и происходит зеемановское расщепление уровня на (2j + 1) подуровней.

Различают нормальный (простой) эффект Зеемана при расщеплении каждой линии на три компоненты и аномальный (сложный) при расщеплении каждой линии на число компонент больше трёх.

Для понимания общих закономерностей эффекта Зеемана рассмотрим простейший атом — атом водорода. Если атом водорода поместить во внешнее однородное магнитное поле с индукцией В, то за счёт взаимодействия магнитного момента р_m с внешним полем атом приобретёт дополнительную зависящую от модулей и взаимной ориентации В и рm энергию.

UB = -pmB = -pmBB,

где рmB — проекция магнитного момента электрона на направление поля.

Учитывая, что р_mB = - ehm_l/(2m) (магнитное квантовое число m_l = 0, ±1, ±2, …, ±l), получим.

где.

магнетон Бора.

Полная энергия атома водорода в магнитном поле.

где первое слагаемое — энергия кулоновского взаимодействия между электроном и протоном.

Из последней формулы следует, что в отсутствие магнитного поля (В = 0) энергетический уровень определится только первым слагаемым. Когда же В? 0, нужно учесть различные допустимые значения m_l. Поскольку при заданных n и l число m_l может принимать 2l + 1 возможных значений, то первоначальный уровень расщепится на 2l + 1 подуровней.

На рис. 22, a показаны возможные переходы в атоме водорода между состояниями р(l = 1) и s (l = 0). В магнитном поле р-состояние расщепляется на три подуровня (при l = 1 m = 0, ±1), с каждого из которых могут происходить переходы на уровень s, и каждый переход характеризуется своей частотой: Следовательно, в спектре появляется триплет (нормальный эффект Зеемана). Отметим, что при переходах соблюдаются правила отбора квантовых чисел:

На рис. 22, б показано расщепление энергетических уровней и спектральных линий для перехода между состояниями d(l = 2) и p(l = 1). Состояние d в магнитном поле.

а б Рис. 22.

расщепляется на пять подуровней, состояние р — на три. При учёте правил перехода возможны только переходы, указанные на рисунке. Как видно, в спектре появляется триплет (нормальный эффект Зеемана).

Нормальный эффект Зеемана наблюдается в случае, если исходные линии не обладают тонкой структурой (являются синглетами). Если исходные уровни имеют тонкую структуру, то в спектре появляется большее число компонент и наблюдается аномальный эффект Зеемана.