Квантовая механика системы микрочастиц

ПРИНЦИП ТОЖДЕСТВЕННОСТИ МИКРОЧАСТИЦ. Одинаковыми называют в квантовой механике микрочастицы, имеющие одинаковую массу (m), заряд (е), спин (s) и т. д., так что в равных условиях (внешнее поле, наличие других микрочастиц) такие микрочастицы ведут себя одинаково.

Естественно, что нет необходимости считать все экземпляры частиц одного рода тождественными: измерение величин m, e, s и др. выполняется лишь с некоторой точностью (?m, ?e, ?s), так что можно предполагать, что разные экземпляры частиц могут отличаться друг от друга в пределах точности измерения. Решить вопрос тождественности можно лишь в том случае, если бы поведение совокупности одинаковых микрочастиц качественно отличалось от поведения различных (даже сколь угодно мало) частиц. Именно к такому отличию приводит квантовая механика.

Пусть имеем N одинаковых микрочастиц. Координаты k-ой частицы — q_k(x_k, y_k, z_k), масса каждой частицы m, энергия во внешнем поле U(q_k, t), энергия взаимодействия k-ой и j-ой частиц — W(q_k, q_j). Гамильтониан системы таких частиц.

Одинаковость частиц здесь в том, что m, U(q_k, t) и W(q_k, q_j) для всех частиц взяты одинаковыми. Эта особенность гамильтониана сохраняется в любом внешнем поле: на одинаковые частицы внешнее поле действует одинаково.

Обязательная и наиболее общая особенность гамильтониана системы одинаковых частиц состоит в том, что при перестановке местами k-ой и j-ой частиц гамильтониан не изменится. Действительно, в нашем случае такая перестановка есть просто перестановка слагаемых в суммах, входящих в гамильтониан.

Для всех пар (j, k) N частиц, образующих систему. Если бы среди N микрочастиц была бы хоть одна другая, то предыдущее равенство не имело бы места как раз для перестановки этой другой частицы с любой из (N — 1) частиц. Поэтому равенство гамильтонианов при перестановке частиц есть самое общее свойство гамильтониана, относящееся к совокупности одинаковых микрочастиц.

Коротко: Гамильтониан системы одинаковых частиц инвариантен (симметричен) относительно перестановки координат любой пары частиц).

Введём новый оператор — оператор перестановки частиц — символ, указывающий на то, что координаты k-ой и j-ой частиц переставлены:

.

Этот оператор линейный, так как для перестановки координат в сумме двух функций нужно переставить их в каждой из функций. Он коммутирует с гамильтонианом системы одинаковых частиц, то есть. Действительно, если применить к некоторой функции оператор, то это всё равно, что применить к оператор, так как оператор оставляет неизменным гамильтониан.

Волновая функция системы N частиц должна удовлетворять уравнению Шредингера.

.

Переставим в этом уравнении координаты k-ой и j-ой частиц с помощью оператора.

.

В силу симметричности оператора относительно перестановки, можно переставить операторы и, тогда получим.

.

Следовательно, если есть решение уравнения Шредингера, то и есть тоже решение, то есть одно из возможных состояний системы. Продолжая перестановки, мы можем получить новые возможные состояния отличающиеся распределением частиц по состояниям.

Здесь мы сталкиваемся с характерной трудностью: считая разные экземпляры частиц одного рода одинаковыми, мы можем различить их только по их состоянию (положению в пространстве, величине импульса, энергии и т. д.). С течением времени состояние частицы может измениться, но в квантовой механике нельзя проследить за эволюцией каждой частицы из-за перекрытия волновых пакетов (пространств вероятности). Найдя частицу в области, где волновые пакеты перекрываются, нельзя решить, с какой частицей мы имеем дело. Аналогичные рассуждения можно привести по другим признакам, характеризующим состояние частицы, например, по импульсам. Так как состояния с заданным импульсом занимают всё пространство, то всегда есть некоторая вероятность столкновения частиц с обменом импульсами таким образом, что частица а будет иметь импульс Р_b, а частица b — импульс Р_a

Cледовательно, в квантовой области способ различия по состояниям отказывается служить В связи с этим мыслимо предположение, что в природе состояния совокупности одинаковых частиц всегда таковы, что можно говорить лишь о состоянии всей совокупности в целом, а не о распределении частиц по состояниям. Это предположение оправдывается не самом деле и формулируется в виде принципа тождественности частиц: в совокупности одинаковых микрочастиц реализуются лишь такие состояния, которые не меняются при обмене (перестановке) частиц.

Высказанный принцип не следует из изложенных положений квантовой механики, но обязателен для получения из квантовой механики выводов, согласующихся с опытом.

СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ. Мы установили, что при обмене состояниями k-ой и j-ой частиц в системе из N одинаковых частиц возникает новое возможное состояние системы. Принцип тождественности утверждает, что новое состояние неотличимо от прежнего, то есть функции и описывают фактически одно и то же состояние системы.

В таком случае волновые функции могут отличаться друг от друга только постоянным множителем: Это равенство может быть записано с помощью оператора перестановки: Последняя запись есть уравнение для собственных функций и собственных значений операторов перестановки.

Таким образом, условие, накладываемое принципом тождественности, заключается в том, что волновые функции должны быть собственными функциями операторов (для любых и Для определения этих собственных функций применим к операторному уравнению ещё раз оператор

Дважды применённый оператор перестановки не меняет функции, поэтому, тогда и Значит.

при.

при.

то есть функциями оператора являются функции, которые при перестановке координат k-ой и j-ой частиц либо не меняются, либо меняют свой знак. Первые функции называются симметричными, вторые — антисимметричными относительно перестановки пары частиц.

Из факта равноправности всех частиц следует, что возможные функции либо симметричны во всех парах частиц, либо антисимметричны во всех парах, так что не может быть функций, которые в части частиц симметричны, а в другой части — антисимметричны.

Переходов между симметричными и антисимметричными состояниями быть не может: если в какой-то момент времени система находится в симметричном () или антисимметричном () состоянии, то она всегда находится в таком состоянии. Деление состояний на два класса носит «абсолютный» характер: если какая-либо система обнаружена в состоянии того или иного класса, она никогда не перейдёт в состояние другого класса. Такой переход невозможен, как бы мы не меняли внешнее поле, так как это поле одинаково действует на одинаковые частицы и, значит при любом изменении внешнего поля гамильтониан остаётся симметричным.

ЧАСТИЦЫ БОЗЕ И ЧАСТИЦЫ ФЕРМИ. ПРИНЦИП ПАУЛИ. Выбор того или иного класса состояний (или) для какой-либо системы частиц может быть продиктован только природой частиц, образующих систему. Опытным путём установлено, что в природе существуют частицы, принадлежащие обоим классам, при этом частицы, обладающие спином, равным целому числу постоянных Планка (S = hm, m = 0, 1, 2, …) описываются симметричными функциями. Они называются частицами Бозе, а совокупности таких частиц — ансамблями Бозе-Эйнштейна.

Частицы со спином полуцелому числу постоянных Планка (S = hm, m = ½, 3/2, …) описываются антисимметричными функциями и называются частицами Ферми, а совокупности таких частиц — ансамблями Ферми-Дирака.

Все простейшие элементарные частицы обладают спином 0, Ѕ и 1. Спином Ѕ обладают электроны, протоны, нейтроны, гипероны, нейтрино и их античастицы. Все они — фермионы.

Спин 1 имеют только фотоны, они — бозоны.

Принадлежность сложной системы, например атома и ядра, к тому или иному классу частиц будет определяться числом и классом более простых частиц, из которых образована сложная система. Рассмотрим атом водорода — систему из двух фермионов: электрона и протона. Суммарный механический момент атома Н в нормальном состоянии складывается из спина протона и спина электрона, каждый из которых имеет момент, поэтому общий спиновый момент атома Н может быть равен 0 или, то есть измеряется целым числом величин .

Рассмотрим теперь ансамбль из атомов Н: координаты протонов Q_k, координаты электронов G_k. Волновая функция для ансамбля из N атомов имеет вид Каждый атом будем рассматриват как одну частицу, тогда обмен состояниями двух атомов означает одновременную перестановку в и координат ядер Q_k и Q_j, и координат электронов G_k и G_j. Так как электроны и протоны — частицы Ферми, то волновая функция должна быть антисимметричной относительно перестановки любой пары ядер и любой пары электронов (меняет знак). При перестановке атомов функция дважды поменяет знак, то есть не изменится вовсе, поэтому относительно перестановки атомов Н функция симметрична и поэтому атомы Н как простые частицы принадлежат к классу частиц Бозе.

Основная особенность частиц Ферми состоит в том, что они подчиняются так называемому принципу Паули, который до разработки квантовой механики был сформулирован Паули на основе анализа данных о спектрах сложных атомов. Этот принцип в простой форме утверждает, что в данной системе в одном и том же квантовом состоянии не может находиться более одного электрона.

Рассмотрим доказательство этого принципа на примере двух частиц-фермионов. Если пренебречь взаимодействием частиц друг с другом, то каждую частицу можно считать находящейся в определённом состоянии, а волновую функцию системы представить в виде произведения волновых функций отдельных частиц. Полная энергия Е системы будет равна сумме энергий отдельных частиц, так что в случае двух частиц Е = Е₁ + Е₂, где Е₁ — энергия первой частицы в определённом состоянии, а Е₂ — энергия второй частицы в состоянии Решением уравнения Шредингера для системы двух частиц будет произведение.

или .

В случае одинаковых частиц решение уравнения Шредингера с той же энергией Е может иметь вид.

Теперь вторая частица находится в состоянии с энергией Е₁, а первая — в состоянии с энергией Е₂. Таким образом, имеется двукратное вырождение, связанное с симметрией задачи по отношению к перестановке частиц местами.

Согласно принципу суперпозиции, линейная комбинация.

.

где С₁ и С₂ — произвольные числа, будет тоже решением уравнения Шредингера. Так как волновая функция системы должна быть либо симметричной, либо антисимметричной, то или С₁ = С₂, или С₁ = -С₂. Нормированная на единицу симметричная функция при имеет вид.

.

а антисимметричная.

.

где 1/- нормировочный множитель. Эти формулы могут быть обобщены на случай системы из любого числа частиц.

Важный результат содержится в формуле для. Если бы две частицы оказались в одном и том же состоянии (, то волновая функция обратилась бы в нуль. Это означает, что в системе одинаковых частиц с полуцелым спином две (или более) частицы не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

В общем случае для систем взаимодействующих одинаковых частиц с полуцелым спином принцип Паули есть требование ассиметрии волновых функций. Принцип Паули имеет фундаментальное значение для квантово-механических частиц с полуцелым спином.

ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ. Тождественность одинаковых частиц приводит в квантовой механике к специфическому взаимодействию между ними, называемому обменным. Проследим за особенностями этого процесса на примере системы из двух электронов.

Если пренебречь слабым спин-орбитальным взаимодействием, то волновую функцию можно представить как произведение координатной функции Ф (q₁, q₂) на спиновую функцию S (_Sz1,Sz2), зависящую только от спиновых переменных Согласно принципу Паули волновая функция системы должна быть антисимметричной: при перестановке координат частиц и спиновых переменных она должна менять знак. Это возможно в двух случаях: либо спиновая функция антисимметрична, а функция координатная симметрична, либо наоборот. В первом случае спины электронов антипараллельны (парасостояние), во втором — параллельны (ортосостояние).

Специфика обменного взаимодействия проявляется особенно отчётливо в состояниях, когда волновую функцию можно представить в виде произведения волновых функций отдельных частиц. Если через обозначить координатную волновую функцию одного из электронов в состоянии, а через — координатную волновую функцию другого электрона в состоянии, то координатную волновую функцию системы из двух электронов можно записать так.

.

Знак + соответствует симметричной функции, знак — функции антисимметричной. Если оба электрона находятся возле одного силового центра, то последнее уравнение справедливо при. Если же электроны находятся у разных силовых центров (молекула водорода Н₂), то уравнение справедливо при .

Найдём среднюю потенциальную энергию электронов, находящихся в состоянии. Оператор энергии взаимодействия, где r₁₂ — расстояние между электронами. Среднее значение U

.

Интегрирование ведётся по координатам q₁ и q₂

Введём следующие величины.

и выразим через них среднюю энергию.

;

Первое слагаемое К имеет простой и наглядный смысл: и можно рассматривать как плотности зарядов электронов, «размазанных» в пространстве из-за движения. Оно учитывает обычное классическое взаимодействие двух заряженных тел с такими плотностями зарядов. Второе слагаемое имеет смысл квантового взаимодействия и называется обменной энергией. Эта энергия появляется из-за того, что состояние двух тождественных частиц должно описываться не функциями и или и, а только их симметричными или антисимметричными состояниями. Волновая функция описывает определённую корреляцию в движении обоих электронов. Величины и, называемые иногда обменными плотностями, нельзя истолковывать как обычные плотности зарядов: они могут быть и комплексными. Величина же представляет собой плотность вероятности нахождения обоих электронов в одной и той же точке пространства.

Важно при этом, что подобно энергии К, обменная энергия А есть электростатическая: она пропорциональна квадрату заряда электрона. Добавление слагаемого к обычной кулоновской энергии обусловлено лишь спецификой квантовых законов движения систем одинаковых частиц.

Обменная энергия вносит дополнительный вклад в полную энергию при любых взаимодействиях (помимо электромагнитных). Основные общие свойства обменной энергии таковы. Первое, она не равна нулю только в случае, когда функции и («облака электронов») перекрываются. Это значит, что некоторое время частицы проводят в одной и той же области пространства. Если волновые функции не перекрываются, то .Чем больше перекрытие, тем больше обменная энергия. Второе, обменная энергия, в отличие от обычной, может иметь любой знак в зависимости от того, симметрична или антисимметрична новая функция. Поэтому благодаря обменной энергии в одной и той же системе могут существовать как силы притяжения, так и силы отталкивания.

Сам факт наличия у частицы полуцелого спина приводит к существованию различных состояний в системе, отличающихся знаком обменной энергии. Так, уровни энергии парагелия (спины электронов антипараллельны) существенно отличаются от уровней ортогелия (спины сопараллельны). В зависимости от знака обменной энергии в природе реализуются ферромагнетики с одинаково ориентированными спинами, и антиферромагнетики, у которых спины соседних электронов антипараллельны.

Обменная энергия обусловливает большой круг различных явлений. Она заметно влияет на энергии стационарных состояний во всех атомах, начиная с гелия. Обменной энергии принадлежит главная роль в образовании ковалентной химической связи в молекулах и кристаллах. Эта энергия имеет важное значение во внутриядерных взаимодействиях.

Проследим роль обменного взаимодействия в образовании типичной гомеополярной молекулы водорода Н₂. Средняя энергия двух атомов водорода как функция расстояния R между протонами складывается из энергии 2атомов в основном состоянии, энергии взаимодействия двух протонов и средней потенциальной энергии взаимодействия электронов друг с другом и с ядрами соседних атомов.

.

Если — расстояние от ядра I до электрона 2 и _- от ядра II до электрона 1 (рис. 23), то оператор потенциальной энергии.

.

Рис. 23.

Как и в предыдущем случае, среднюю энергию разбиваем на две части: кулоновскую классическую типа К и обменную А

= К ± А.

При этом соответствует симметричной координатной волновой функции и следовательно состоянию с антипараллельными спинами, а — антисимметричной волновой функции, то есть состоянию с сопараллельными спинами:

Примерная зависимость U_S и U_a представлена на рис. 24. В антисимметричном состоянии энергия U_a положительна и монотонно уменьшается с ростом R. Такому виду кривой соответствует существование между ядрами сил отталкивания Образование молекулы в случае сопараллельных спинов невозможно. Если спины электронов антипараллельны, то энергия U_S имеет минимум. Следовательно, на некотором расстоянии от ядра R₀ ядра будут находиться в состоянии устойчивого равновесия. При этом образуется молекула Н_2.

Рис. 24.

Будут ли ядра притягиваться или отталкиваться, зависит от знака обменной энергии А. Притяжение атомов водорода в случае антипараллельных спинов можно объяснить так. В первом случае вероятность пребывания электронов в области между ядрами достаточно велика. Находясь в этой области, электроны притягивают ядра к себе, что и приводит к образованию связанного состояния. Если же спины сопараллельны, то волновая функция антисимметрична по координатам и при r_{1 =} -r₂, то есть посередине между ядрами, обращается в нуль. Плотность электронного облака между ядрами минимальна, и ядра отталкиваются.