Уравнение шредингера. 
Элементы квантовой механики

Пусть в какой-либо момент времени дана волновая функция. С её помощью можно вычислить вероятности результатов измерения различных механических величин для момента В этом смысле волновая функция определяет состояние микрочастицы для.

Если мы намерены провести измерения в момент то состояние микрочастицы изменится и будет соответствовать функции Речь идёт об изменении состояния исключительно из-за движения микрочастицы самой по себе. Каким образом в этом случае связаны функции и.

Так как волновая функция полностью характеризует чистый ансамбль, она должна определять и его дальнейшее развитие — это принцип причинности в применении к квантовой механике. Математически это значит, что из функции однозначно должна определяться функция в более поздние моменты времени.

Рассмотрим функцию в момент времени, бесконечно близкий к нулю. Тогда можно представить.

Согласно сказанному, величина должна определяться из функции, то есть.

где — некоторая операция, которую надо провести над .

Так как момент взят произвольно, то можно обобщить.

Вид оператора, который можно назвать оператором смещения во времени, не может быть определён из изложенных выше положений квантовой механики и поэтому должен быть постулирован.

Согласно принципу суперпозиции оператор должен быть линейным. Он не может содержать ни производных, ни интегралов по времени, а может содержать время лишь как параметр.

Правильный выбор оператора подсказывается рассмотрением свободного движения с определённым значением импульса. Волновая функция в этом случае есть волна де Бройля:

Непосредственная подстановка показывает, что эта волна удовлетворяет уравнению.

или ,.

Если под.

разуметь гамильтониан для свободно движущейся микрочастицы.

В квантовой механике этот частный случай обобщается, так что оператор смещения всегда равен В соответствии с этим постулатом имеем.

Последнее выражение есть уравнение Шредингера. Его особенность — наличие мнимой единицы перед производной, благодаря чему уравнение может иметь периодические решения.

СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ. При отсутствии внешних переменных полей гамильтониан не зависит от времени и совпадает с оператором полной энергии В этом случае уравнение Шредингера имеет важные решения, которые получаются путём разделения переменных и t, то есть.

Подстановка даёт.

После деления всех частей на произведение получаем.

Интегрирование последнего уравнения даёт.

.

Второе уравнение совпадает с уравнением для собственных функций оператора энергии. Если обозначить эти функции, а собственные значения (рассматриваем случай дискретного спектра), то окончательное решение становится таковым.

Отсюда следует, что состояния с определённым значением энергии гармонически зависят от времени с частотой Это решение распространяет соотношение де Бройля, применявшееся ранее к случаю свободного движения, на любые системы.

Состояния с определёнными значениями энергии называют стационарными. В свою очередь, уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний. В силу линейности исходного уравнения его общее решение может быть представлено как суперпозиция стационарных состояний с произвольными, но постоянными амплитудами:

Амплитуды определяются через начальную функцию, так как в силу ортогональности функций имеем.

В стационарных состояниях вероятность местоположения микрочастицы не зависит от времени. В этих состояниях средняя плотность электрических зарядов и средняя плотность электрических токов не зависят от времени. Таким образом, система, находящаяся в состоянии с определённой энергией, с электрической точки зрения есть система статически распределённых зарядов и постоянных токов.

Заметим, что в стационарных состояниях вероятность нахождения какого-нибудь значения L любой механической величины (не зависящей явно от времени) не зависит от времени. Вместе с тем и среднее значение является постоянным.

ПРОИЗВОДНЫЕ ОПЕРАТОРОВ ВО ВРЕМЕНИ. Уравнение.

Шредингера позволяет установить простые правила вычисления изменения среднего значения той или иной механической величины за бесконечно малый промежуток времени, то есть вычислить производные во времени от среднего значения некоторой величины L.

Физический смысл этой производной таков. Пусть в момент t состояние частицы описывается функцией, при измерении L мы получим результаты Среднее значение будет которое вычисляется по формуле.

В момент.

получим новую серию результатов, среднее значение которых будет другое, так как за время состояние изменится и изменятся вероятности получения данных.

Пусть средний результат измерений в момент есть тогда.

Вычислим эту производную. Дифференцирование предыдущей формулы даёт.

.

Первое слагаемое есть среднее значение величины и оно равно нулю, если L не зависит от времени.

Два других слагаемых упростим, учитывая уравнение Шредингера, а именно.

и .

Подставляя эти выражения в выражение для, получим.

Обозначая и ,.

на основе свойства самосопряжённости получим.

Подстановка даёт.

Введём обозначение квантовой скобки Пуассона.

.

после чего можно записать.

.

Таким образом, производная по времени от среднего значения <L> есть среднее от некоторой величины, изображаемой оператором Этот оператор принимаем за оператор производной по времени от величины изображаемой оператором.

Это определение оператора, изображающего производную по времени ведёт к тому, что.

то есть производная по времени от среднего равна среднему от производной по времени.

Если величина не зависит от времени явно, то формулы упрощаются.

Импульсы и координаты есть величины, не зависящие явно от времени. Поэтому операторы производных этих величин по времени выражаются просто через квантовые скобки, то есть в конечном счёте через операторы самих этих величин и гамильтониан, характеризующий рассматриваемую механическую систему.

Искомые операторные уравнения имеют вид:

; ;

;; .

Представленные уравнения называются квантовыми уравнениями Гамильтона. Рассмотрим случай, когда гамильтониан имеет вид.

.

Считая волновую функцию функцией координат и времени t, имеем следующие выражения для операторов.

;; ;;; .

Подстановка операторов в квантовые скобки и использование правил перестановки операторов даёт результаты:

;; .

Таким образом, оператор скорости равен оператору импульса, делённому на массу микрочастицы. Найдём теперь оператор, а именно.

=.

что следует из правила перестановки.

.

Следовательно.

;

; .

Частные производные по координатам есть операторы проекций силы, так что.

;; .

Если вычислить среднее значение от величины и т. д. в каком-нибудь состоянии, то на основании вышеизложенного получим:

; .

Иначе говоря, производная по времени от средней координаты равна среднему импульсу, делённому на массу микрочастицы; производная от среднего импульса по времени равна средней силе В раскрытой форме это представляется так:

; .

Последние соотношения называются теоремами Эренфеста.

Продифференцируем уравнение.

по t :

Полученное соотношение есть квантовое уравнение Ньютона.