Тест дарбина-уотсона. 
Эконометрика

Наиболее известным и популярным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина-Уотсона. Статистика Дарбина-Уотсона (DW) приводится во многих статистических пакетах как важнейшая характеристика качества регрессионной модели.

В этом тесте для оценки корреляции остатков используется статистика.

Эта статистика тесно связана с выборочным коэффициентом корреляции между соседними остатками (коэффициентом автокорреляции первого порядка, т. с. парного коэффициента корреляции между рядами и е₂₉е^,…_уе_п):

где.

Действительно:

• 1. Если г * 0 (отсутствие автокорреляции), то d «2;
• 2. Если /• * 1 (положительная автокорреляция), то d «2;
• 3. Если d * -1 (отрицательная автокорреляция), то d & 4.

Таким образом,.

Очевидно, что необходимым условием независимости случайных отклонений является близость к двойке значения статистики ДарбинаУотсона. Если (/а2, мы можем считать отклонения от регрессии случайными (хотя они в действительности могут и нс быть таковыми). Это означает, что построенная линейная регрессия, скорее всего, отражает реальную зависимость, не осталось неучтенных существенных факторов, влияющих на зависимую переменную. Какая-либо другая нелинейная форма зависимости не превосходит по статистическим характеристикам рассматриваемую линейную. В этом случае, даже когда R² невелико, вполне вероятно, что необъясненная дисперсия вызвана влиянием на зависимую переменную большого числа различных факторов, индивидуально слабо влияющих на исследуемую переменную, и может быть описана как случайная нормальная ошибка.

Для оценки значения статистики Дарбина-Уотсона разработаны специальные таблицы критических точек этой статистики, позволяющие при данном числе наблюдений п, количестве объясняющих переменных к и заданном уровне значимости сделать вывод о наличии автокорреляции. Для заданных значений количества наблюдений, объясняющих переменных и уровня значимости в таблице указываются два числа: d, - нижняя граница и d_u — верхняя граница.

Для проверки гипотезы о независимости возмущений (отсутствии автокорреляции) используется следующее правило:

• 1. Если dn то гипотеза о независимости возмущений отвергается (имеет место положительная автокорреляция).
• 2. Если d > 4 —d_n то гипотеза о независимости возмущений отвергается (имеет место отрицательная автокорреляция).
• 3. При d_{u u}, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (автокорреляции нет).
• 4. Если d_tu или 4-d_u<4 — d,₉ то гипотеза об отсутствии автокорреляции нс может быть ни принята, ни отклонена — нет достаточных оснований для принятия решения.

Нс обращаясь к таблице критических точек Дарбина-Уотсона, можно пользоваться грубым правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1,5 < d <2,5.

Использование критерия Дарбина-Уотсона предполагает выполнение некоторых условий: регрессионная модель должна содержать свободный член, данные должны иметь одинаковую периодичность (не должно быть пропусков в наблюдениях), случайные отклонения образуют авторегрессионную схему первого порядка, среди объясняющих переменных нет зависимой переменной с лагом один период.

Приведенное выше правило проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции можно представить в виде схемы (рис. 3.3.5):

Рис. 3.3.5.

Тест Дарбина-Уотсона обладает определенными недостатками: наличие зон неопределенности, ограниченность применения (выявляется только корреляция между соседними наблюдениями). Поэтому используются и другие тесты, такие, как тест Брсуша-Годфри, тест ЛыоингаБокса.

Одной из основных причин автокорреляции являются ошибки спецификации, наличие неучтенных регрессоров. Поэтому для устранения автокорреляции прежде всего необходимо попытаться скорректировать модель. Для этого можно попробовать изменить форму зависимости (например, использовать нелинейные регрессии), попытаться определить существенные факторы, еще нс включенные в регрессию, и учесть их при построении модели. Часто подобными факторами являются так называемые лаговые переменные, влияние которых характеризуется определенным запаздыванием.

Если все «разумные» способы изменения спецификации исчерпаны, но автокорреляция все еще имеет место, то можно предположить, что она обусловлена внутренними, существенными свойствами данных. В этом случае можно попробовать применить авторегрессионное преобразование. Рассмотрим авторегрессионную схему первого порядка AR (1), наиболее хорошо подходящую к линейным и сводящимся к линейным моделям.

Рассмотрим случай парной линейной регрессии:

в котором случайные возмущения коррелированны и образуют авторегрессионный процесс первого порядка, т. е.

где V_tjt = 1,/7 — случайные отклонения, удовлетворяющие всем предпосылкам МНК (т. е. представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией сг,²), р — коэффициент авторегрессии.

Тогда, положив , с учетом.

(3.3.5) и (3.3.6) получим.

Так как случайные возмущения |/,/ = 1, л удовлетворяют всем предпосылкам МНК, коэффициент р предполагается известным, то мы получаем классическую регрессионную модель, оценки которой хорошо известны.

В многомерном случае ковариационная матрица вектора возмущений € для модели, в которой случайные возмущения коррелированы и образуют авторегрессионный процесс первого порядка (3.3.6) можно представить в виде.

Для получения эффективных оценок параметров в такой модели можно применить обобщенный метод наименьших квадратов (см. § 3.1, формула (3.1.3)).

На практике значение коэффициента р практически никогда не известно, поэтому его необходимо предварительно оценить. Наиболее простой способ оценки р — применение МНК к регрессионному уравнению.

(3.3.6). Кроме этого существует несколько методов оценивания — процедура Дарбина, процедура Кохрейна-Оркатта, метод парных разностей, метод Хилдрета-Лу и др.

В случае временного ряда значения объясняемых переменных часто зависят не только от рассматриваемых объясняющих переменных, но и от предыдущих значений объясняемой переменной. Наиболее распространенными методами устранения автокорреляции во временных рядах являются модели авторегрессии, скользящей средней и авторегрессионная модель скользящей средней.