Потери напора при установившемся равномерном движении жидкости (потери по длине)

Потери напора при равномерном движении пропорциональны длине участка русла, и поэтому их называют потерями напора по длине. Потери напора при резкоизменяющемся движении считаются сосредоточенными в месте, где поток деформируется, и их называют местными потерями напора µ.

Чтобы установить структуру зависимости для вычисления потерь напора по длине, рассмотрим потери напора h_l на единицу длины, т. е. гидравлический уклон.

J_e =h_l/l (2.1).

и определим, от каких характеристик потока он зависит. Будем рассматривать поток с расходом Q в круглоцилиндрической трубе диаметром D. Жидкость несжимаемая, ее механические свойства определяются плотностью р и динамическим коэффициентом вязкости µ .

Кроме того, так как напор представляет собой поток механической энергии, отнесенный к весовому расходу.

Q_B = pgQ,.

потери напора будут зависеть и от ускорения силы тяжести.

Все указанные параметры потока, кроме характеристик внутренней поверхности трубы, сравнительно легко измеряются. Для оценки влияния шероховатости стенок трубы на потери напора рассмотрим только такие поверхности, шероховатость которых описывается одной величиной — высотой выступов шероховатости. Такую шероховатость называют зернистой (рис. 5.19,а). В действительности влияние на поток может оказывать_t не только высота выступов, но и их взаимное расположение на поверхности стенки, их очертание и т. п. Например, при прочих равных условиях выступы, имеющие очертание, представленное на рис. 5.19, б оказывают большее сопротивление течению жидкости и, следовательно, вызывают большие потери напора, чем выступы, представленные на рис. 5.19,в.

Рис. 5.19. Виды шероховатых стенок: а — зернистая шероховатость; бив — различные виды структурированной шероховатости; г — естественная шероховатость

При естественной шероховатости, имеющей место вследствие либо технологических особенностей изготовления труб (металлических, бетонных, деревянных и т. п.), либо вследствие их коррозии, либо по каким-то другим причинам (рис. 5.19,г), трудно бывает установить не только высоту выступов (хотя бы среднюю), но даже место, откуда надо отсчитывать эту высоту. О том, как ввести в гидравлические расчеты характеристику внутренней поверхности в случаях, представленных на рис. 5.19, будет сказано далее, а пока рассмотрим зернистую шероховатость, а геометрическую высоту выступов будем называть абсолютной шероховатостью Д. Итак,.

J_e =f (p,µ, Q, D, Д, g). (2.2).

выберем в качестве независимых безразмерных произведений Re= pvD/µ, v²/gD.

Первое из них представляет собой известное число Рейнольдса Re_D, а второе называют относительной шероховатостью Д_r =Д/D. Итак, используя анализ размерности, вместо (2.2) можно принять.

J_e=J_e(Re_D, Д_r, v²/gD) (2.3).

Где Re_D = vD/v, Д_r = Д/D.

Как показали экспериментальные исследования, число Рейнольдса можно использовать не только в качестве критерия для установления режима движения жидкости (разд. 5.13), но и как параметр, определяющий внутреннюю структуру турбулентного потока. Эксперементальное изучение потоков жидкости в трубах и каналах показало, что во многих практически важных случаях потери напора пропорциональны квадрату скорости и не зависят от вязкости жидкости. На этом основании, чтобы получить наиболее простую для практического использования структуру зависимости для J_e, выражение (2.3) представляют в виде Тогда, J_e = (Re_D, Д_r)v² / gD = 2f (Re_D, Д_r) *v²/2g *1/D (2.4).

Из этой зависимости получим выражение для потери напора h_l, одновременно выделив скоростной напор v²/2g как величину, входящую в уравнение Бернулли в виде отдельного слагаемого. Обозначив 2f (Re_D, _г) через Л (Re_D, Д_г), получим формулу Вейсбаха—Дарси:

h_l = (Re_D, Д_r)* v²/2g *1/D. (2.5).

Функция (Re_{D, г}) — Коэффициент гидравлического трения.

Вид функции.

= (Re_{D, г}).

в виде графика был установлен экспериментальным путем и представлен И. Никурадзе, который выполнил в 1920;х годах свои исследования в Германии. Этот график, представленный на рис. 5.20, носит название графика Никурадзе.

Он имеет следующие особенности. По горизонтальной оси отложено Re_D в логарифмическом масштабе, чтобы охватить возможно больший диапазон значений Re_D и в то же время достаточно детально представить область малых значений Re_D < 10⁴ относящихся к ламинарному движению. Для того чтобы определить зависимость от относительной шероховатости Д_r, на этом же графике каждому фиксированному значению Д_r ставится в соответствие отдельная кривая = (Re_D).

Вертикальные линии Re_D = (Re_D)'_кр и Re_D = (Re_D)Ѕ_kp отделяют зону устойчивого ламинарного режима Л и зону, где может существовать только турбулентный режим Т, от переходной зоны П, где могут иметь место или тот или другой режимы (см. разд. 5.13). При построении этого графика принимают (Re_D)'_кр = 2300, а (Re_D)Ѕ_кр = 4000.

При ламинарном движении не зависит от шероховатости и определяется по формуле.

. (2.6).

Подставив это выражение в (2.5), найдем.

hl = * l/D*v2/2g = 64/ReD*l/D*v2/2g = 64µ/vD*l/D*v2/2g = 32µ/g* v/D2=128/рg*µ/D4*Q.

Q = рD²/4*V.

Как видно из (2.6), потери напора при ламинарном движении пропорциональны средней скорости в первой степени или при заданном расходе Q обратно пропорциональны четвертой степени диаметра трубы. Этот результат экспериментально был установлен в 40-х годах прошлого века французским врачом Пуазейлем, и ламинарное движение жидкости в цилиндрических трубах называют течением Пуазейля. При числах Re_D (см. рис. 5.20), лежащих в диапазоне (Re_D)мММ_кр < Re_D< (Re_D)Ѕ_кр, обычно предполагают, что движение турбулентное (ламинарное движение здесь неустойчиво, и, если не предпринять специальных мер (см. разд. 5.13), оно будет турбулентным). Поэтому на область П распространяют зависимости для , экстраполируя их из области турбулентного режима движения Т.

При турбулентном режиме движения выделяют три области: I, II и III (см. рис. 5.20), которые отделяются друг от друга штриховыми линиями нижних и верхних предельных чисел Рейнольдса: (Re_D)м_пред и (Re_D)Ѕ_пред. Область I характеризуется тем, что в ней коэффициент гидравлического трения не зависит от относительной шероховатости и все линии, отвечающие различным значениям, сливаются в одну, представляющую всю зону I. Эта линия, которая при Re_D<10⁵ на рис. 5.20 имеет вид прямой, достаточно хорошо аппроксимируется зависимостью, предложенной немецким ученым Блазиусом,.

(2.8).

Подставив (2.8) в (2.5), получим, что в этой области h_l ~ v^1.75; область I называется областью гидравлически гладких труб; это следует понимать так: хотя шероховатость в трубах всегда имеется, но при Re_D < (Re_D)'_пред она не оказывает влияния на потери напора. При больше значениях Re_D в той же трубе коэффициент будет зависеть от шероховатости _г.

Область III характеризуется тем, что в ней коэффициент гидравлического трения не зависит от числа Рейнольдса, а зависит только от относительной шероховатости _г; графически это проявляется в том, что линии = (Re_{D, г}) в этой области параллельны оси Re_D. Поскольку здесь = (_г), то, согласно зависимости (2.7), потери напора h_l~v²; поэтому область III называют областью квадратичного сопротивления.

В области II коэффициент гидравлического трения зависит от Re_D и от _г; согласно (5.111), здесь h,~v^1.75…2.0 Учитывая, что переход из области П в область III обычно происходит при увеличении числа Re_D, что достигается практически увеличением средней скорости в трубе, область II называют областью доквадратичного сопротивления.

Никурадзе было сделано обобщение только для зернистой (искусственной) шероховатости; для естественной шероховатости график зависимости = (Re_{D, г}) имеет в основном те же особенности, однако каждому виду естественной шероховатости следует поставить в соответствие высоту выступов некоторой фиктивной эквивалентной зернистой шероховатости, в зависимости от численного значения которой определяется величина . Эквивалентность некоторой зернистой шероховатости и заданной естественной шероховатости устанавливается на основе гидравлических исследований потерь напора в трубах с обеими указанными (зернистой и естественной) шероховатостями; значение л в обеих трубах должно быть одинаковым в области квадратичного сопротивления.

При естественной шероховатости расчетная высота выступов эквивалентной зернистой шероховатости назначается с помощью специальных таблиц, где значение Д определяется в зависимости от словесного описания состояния внутренней поверхности трубы, которое зависит от технологии изготовления и монтажа трубы, от условий ее эксплуатации и т. п. (табл. 5.1).

В газопроводах потери энергии часто оцениваются не как потери напора h_l, а как потери давления р по длине. При этом формула Вейсбаха—Дарси представляется в виде.

. (2.9) при условии (2.

а коэффициент гидравлического трения рассчитывается так же, как для несжимаемых жидкостей.

Таблица 5.1. Значения параметров шероховатости для разных материалов

Приводятся наиболее вероятные значения для средних условий; в скобках указываются возможные пределы колебаний.

графику является табл. 5.1, в которой представлены значения Д для различных трубопроводов в зависимости от их материала, технологии изготовления и монтажа, условий эксплуатации. График рис. 5. 21 называют графиком Кольбрука—Уайта, а в США — графиком Муди.

Зависимости = (Re_{D, г}) для турбулентного режима движения хорошо аппроксимируются формулой Альтшуля (при _г < 0,007):

^0,25 (2.10).

Коэффициент гидравлического трения 'к а в области квадратичного сопротивления формулой Шифринсона:

(2.11).

В области гладкого сопротивления (_г~ 0) формула (2.10) дает хорошее совпадение с зависимостью Блазиуса (2.8).

Формула Шези. При расчете потерь напора в открытых руслах (реках, каналах) вместо формулы Вейсбаха—Дарси, как правило, используют формулу Шези:

(2.10).

где С — коэффициент Шези, /с. Эта формула была предложена в начале XIX века на основе исследований французского инженера А. Шези, связанных с водоснабжением Парижа.

Первоначально она была представлена в виде.

v = 50 (2.12).

Если принять во внимание, что, как показали последующие эксперименты, для большинства потоков, встречающихся в инженерно-строительной практике, значения С изменяются в пределах (40…60) vм/с, то формулу (2.12), устанавливающую с ошибкой, не превышающей 20%, зависимость средней скорости от потери напора, следует признать чрезвычайно удачной. Впоследствии зависимость коэффициента Шези С от шероховатости и размеров русла была достаточно хорошо изучена. Для его вычисления была разработана шкала коэффициентов шероховатости n, эквивалентная шкале абсолютных шероховатостей; обе эти характеристики шероховатости, которые определяются по словесному описанию поверхности русла, приведены в табл. 5.1. Кроме того, рекомендованы зависимости и таблицы для определения значений С. Наиболее широкое распространение в связи с ее простотой получила формула Маннинга:

С= (2.11).

где n — коэффициент шероховатости; R — гидравлический радиус.

Отметим, что для большинства открытых потоков значение гидравлического радиуса R мало отличается от глубины потока h.

Cвязь между коэффициентом Шези С и коэффициентом гидравлического трения :

h_l = l / C²R*v² (2.13).

и, имея в виду течение в круглоцилиндрической трубе, примем D = 4R; выделив скоростной напор, получим.

h_l = 8g/C²*l / D*v²/2g (2.14).

Сравнивая () и (2.5), найдем.

Полученная связь между и С на первый взгляд указывает на полную эквивалентность формул Шези и Вейсбаха—Дарси. Однако формула и таблицы, используемые для определения численного значения С, не позволяют учесть влияния числа Рейнольдса Re на потери напора. Если принять во внимание приведенный выше анализ зависимости = (Re_{D, г}) то станет очевидно, что область применения формулы Шези — это область квадратичного сопротивления, в которой и не зависит от Re_D.

На практике формулы Шези и Маннинга применяют главным образом для расчета потерь напора в открытых руслах (реках, каналах), в которых режим движения воды всегда турбулентный и, как правило, имеет место область квадратичного сопротивления.

(2.17).