Метод зон Френеля. 
Прямолинейность распространения света. 
Дифракция Френеля. 
Дифракция Фраунгофера

Применим принцип Гюйгенса—Френеля для нахождения амплитуды светового колебания, возбуждаемого в точке P сферической волной, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 2.1).

Волновая поверхность такой волны симметрична относительно прямой SP. Воспользовавшись этим, Френель разбил волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки Р отличаются на /2 (л — длина волны в той среде, в которой распространяется волна). Легко видеть, что расстояние от внешнего края m-й зоны до точки Р равно.

(2.1).

где b — расстояние от вершины волновой поверхности О до точки Р.

рис. 2.1.

Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух смежных зон (т.е. от точек, лежащих у внешних краев зон. или в середине зон и т. д.). будут находиться в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться на .

Для оценки амплитуд колебаний нужно найти площади зон. Внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высотой h_m (рис. 2.2). Обозначим площадь этого сегмента S_m. Тогда площадь m-й зоны можно представить в виде.

.

где — площадь сферического сегмента, выделенного внешней границей (m-1)-й зоны. Из рис. 2.2 видно, что.

.

где а — радиус волновой поверхности; r_m — радиус внешней границы т-й зоны. Из последнего выражения получаем.

(2.2).

Откуда.

(2.3).

рис. 2.2.

Если рассматривать зоны с не слишком большими m, то в (2.3) можно пренебречь слагаемым, содержащим л², ввиду малости л. В этом приближении.

(2.4).

Площадь сферического сегмента, где — радиус сферы, — высота сегмента. Следовательно,.

.

а площадь m-й зоны Френеля.

(2.5).

Полученное нами выражение не зависит от m. Это значит, что при не слишком больших m площади зон Френеля примерно одинаковы.

Произведем оценку радиусов зон. Согласно (2.2),. При не слишком больших m высота сегмента h_m «а, поэтому можно считать, что. Подставив сюда значение h_m из (2.4), найдем радиус внешней границы т-й зоны Френеля:

(2.6).

Если положить, а = b = 1 м и л = 0,5 мк, то для радиуса первой (центральной) зоны Френеля получается значение =0,5 мм.

Выше мы нашли, что площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние от m-й зоны до точки Р медленно растет с увеличением m по линейному закону (см. (2.1)). Угол между нормалями к элементам зоны и направлением на точку Р также растет с номером зоны m. Все это приводит к тому, что амплитуда колебания, возбуждаемая т-й зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом m. Даже при очень больших m, когда, как можно заключить из (2.3), площади зон начинают заметно расти с ростом т, убывание множителя превышает рост (напомним, что стремится к нулю при), так что амплитуда продолжает убывать. Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

.

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на. Поэтому амплитуда A результирующего светового колебания в точке Р может быть найдена следующим образом:

(2.7).

В этом выражении все амплитуды от нечетных зон входят с одним знаком, а от четных — с другим. Запишем (2.7) в виде.

(2.8).

Вследствие монотонного убывания можно приближенно считать, что .

При этом условии выражения в скобках в (2.8) равны нулю и па формула упрощается:

. (2.9).

Полученный нами результат означает, что амплитуда колебания. создаваемого в некоторой точке Р сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды колебания, создаваемого одной лишь центральной зоной. По произведенной выше оценке центральная зона имеет размеры порядка долей миллиметра. Следовательно, свет от источника S к точке Р распространяется как бы в пределах очень узкого канала, т. е практически прямолинейно.

Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием. оставляющим открытой только центральную зону Френеля, то амплитуда в точке Р будет равна, т. е. в два раза превзойдет амплитуду (2.9). Соответственно интенсивность света в точке Р будет в этом случае в четыре раза больше, чем при отсутствии преграды между точками S и Р.

рис. 2.3.

Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывала бы все четные или нечетные зоны, то амплитуда колебания в точке Р резко возросла бы. Такая пластинка называется зонной. На рис. 2.3 изображена зонная пластинка, перекрывающая все четные зоны. Зонная пластинка во много раз увеличивает интенсивность света в точке Р, действуя подобно собирательной линзе. Еще большего эффекта можно добиться, не перекрывая четные (или нечетные) зоны, а изменяя их фазы колебания на. Это можно осуществить с помощью прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих четным и нечетным зонам, отличается на надлежащим образом подобранную величину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с обычной (или амплитудной) зонной пластинкой фазовая дает дополнительное увеличение амплитуды в два раза, а интенсивность света — в четыре раза.

Рассмотренные в настоящем параграфе методы нахождения амплитуд позволяют решить простейшие задачи на дифракцию света.