План решения основной задачи сопротивления материалов

При выборе размеров и материала для того или иного элемента конструкции мы должны обеспечить известный запас против возможности его разрушения или остающегося изменения формы. Элемент должен быть так спроектирован, чтобы наибольшие напряжения, возникающие в нём при его работе, были по всяком случае меньше тех, при которых материал разрушается или получает остаточные деформации.

Величина напряжений, достижение которых обусловливает разрушение материала, называется пределом прочности или временным сопротивлением; его мы будем обозначать теми же буквами, что и напряжения, но с индексом «в». Величина же напряжений, при превышении которых материал получает незначительные, заранее обусловленные, остаточные деформации, называется пределом упругости. Эти величины являются механическими характеристиками сопротивления материала разрушению и остаточному изменению формы).

Чтобы обеспечить сооружение от риска разрушения, мы должны допускать в его элементах напряжения, которые будут по своей величине составлять лишь часть предела прочности материала.

Величину допускаемых напряжений обозначают той же буквой, что и напряжение, но заключённой в прямые скобки; она связана с пределом прочности р_в равенством.

где k — так называемый коэффициент запаса прочности — число, показывающее, во сколько раз допущенные нами в конструкции напряжения меньше предела прочности материала. Коэффициент k будем в дальнейшем называть просто коэффициентом запаса. Величина этого коэффициента колеблется на практике в пределах от 1,7−1,8 до 8−10 и зависит от условий, в которые работает конструкция. Подробнее этот вопрос разобран в §§ 17 и 18.

Обозначая наибольшие напряжения, которые возникнут при действии внешних сил в проектируемом элементе, буквой р_max, мы можем выразить основное требование, которому должны удовлетворять материал и размеры этого элемента, неравенством.

Это — так называемое условие прочности: действительные напряжения должны быть не больше допускаемых.

Теперь мы можем составить план решения задач сопротивления материалов. Необходимо:

• 1) выяснить величину и характер действия всех внешних сил, приложенных к проектируемому элементу, включая и реакции;
• 2) выбрать материал, наиболее отвечающий назначению конструкции и характеру действия внешних сил, и установить величину допускаемого напряжения;
• 3) задаться размерами поперечного сечения элемента в числовой или алгебраической форме и вычислить величину наибольших действительных напряжений р_max, которые в нём возникнут;
• 4) написать условие прочности p_mаx? [p] и, пользуясь им, найти величину поперечных размеров элемента или проверить достаточность уже принятых.

В последнее время эта схема решения задач сопротивления материалов в некоторых случаях видоизменяется; встречаются конструкции, в которых запас прочности для всей конструкции в целом оказывается большим, чем для материала в наиболее напряжённом месте. Исчерпание грузоподъёмности материала в этом месте иногда не влечет за собой исчерпания грузоподъёмности всей конструкции в целом.

Условие прочности для материала p_mаx? [p] заменяется в этих случаях условием прочности для всей конструкции в целом:

где Р — нагрузка, действующая на конструкцию, — её допускаемая величина, а — предельная, разрушающая всю конструкцию нагрузка. Таким образом, расчёт по допускаемым напряжениям заменяется расчётом по допускаемым нагрузкам.

В этом случае необходимо:

• 1) выяснить величину и характер действия всех внешних сил, приложенных к конструкции;
• 2) выбрать материал, наиболее отвечающий назначению конструкции и характеру внешних сил, и установить величину коэффициента запаса;
• 3) задаться размерами поперечных сечений элементов сооружения в числовой или алгебраической форме и установить допускаемую нагрузку;

4) написать условие прочности: и, пользуясь им, найти величину поперечных размеров элементов конструкции или проверить достаточность уже принятых.

В ряде случаев, как мы увидим дальше (§ 27), оба метода решения дают совпадающие результаты.

Мы будем, как правило, пользоваться общепринятым пока методом расчета по допускаемым напряжениям, но параллельно будем излагать и способ расчёта по допускаемым нагрузкам в особенности там, где он даёт отличные от первого способа результаты.

В большинстве случаев условие прочности должно быть дополнено поверками на устойчивость и жёсткость. Первая поверка должна обеспечить невозможность общего изменения элементами конструкции намеченной для них формы равновесия, вторая — должна ограничить их деформации.

При решении задач сопротивления материалов приходится применять и методы теоретической механики, и экспериментальные методы. При определении внешних сил приходится основываться на уравнениях статики; в случае статически неопределимых конструкций необходимо производить, как это будет показано ниже (§ 19), вычисление деформаций материала, что возможно лишь при наличии надёжных результатов лабораторных опытов, в которых определялись зависимости между деформациями и силами или напряжениями.

Установление допускаемых напряжений требует знания предела прочности материала и других его механических характеристик, что может быть получено также при помощи экспериментальных исследований материала в специальных лабораториях испытания материалов. Наконец, вычисление действительных напряжений требует как применения методов математического анализа и механики, так и использования опытных данных. Таким образом, сопротивление материалов включает в себя две области: одну — аналитическую, основанную на механике и математике, другую — экспериментальную. Обе эти области тесно между собой переплетаются.

Сопротивление материалов нельзя рассматривать как дисциплину, которая занимается только теоретическим вычислением напряжений в каком-то однородном упругом теле. Решение задач, изучаемых в сопротивлении материалов, возможно лишь при наличии результатов экспериментального исследования механических свойств реальных материалов в связи с их структурой, методами их изготовления и обработки. Поэтому в настоящем курсе этой стороне отведено достаточное внимание. Работы в лаборатории составляют один из важнейших элементов обучения и должны непременно выполняться студентами параллельно с изучением курса. Описание этих работ, разработанное применительно к существующему оборудованию механических лабораторий, выделено в особое руководство).

Хотя при самом возникновении сопротивления материалов вопрос о прочности был поставлен в связи с чисто практическими задачами, в дальнейшем сопротивление материалов развивалось в значительной степени по линии теоретической, что и вызывало иногда разрыв между результатами исследований и их приложениями на практике. Лабораторное изучение материалов шло особняком, главным образом по линии установления норм для приемки разных материалов. В настоящее время сопротивление материалов изучает реальные материалы с точки зрения их работы в конструкциях путём широких экспериментальных и теоретических исследований, что открывает возможность решения ряда новых практических задач. Таковы задачи изучения прочности новых материалов, условий их разрушения, задачи определения напряжений не только в пределах, но и за пределами упругости, и другие.

Рис. 2.8.

Из формулы (2.5) следует, что касательные напряжения имеют значения от (при) до (при); отрицательный угол показан на рис. 2.7, г. Значение равно нулю при (т.е. в поперечных сечениях бруса) и при. Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю.

Определим значение касательных напряжений и в двух наклонных сечениях, перпендикулярных друг к другу (рис. 2.8). Углы и наклона этих сечений к плоскости поперечного сечения бруса находятся между собой в зависимости.

По формуле (2.6).

Таким образом, касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и обратны по знаку.