Построение динамических моделей некоторых четырехугольников

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Северо-Казахстанскийгосударственныйуниверситет им. М. Козыбаева Факультет Информационных Технологий Кафедра «Математика»

Курсовая работа

ПО МАТЕМАТИКЕ

" ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕКОТОРЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ"

АВТОР: Исин Т.Ж.

РУКОВОДИТЕЛЬ: Рванова А.С.

Петропавловск 2012

• Введение
• 1. Признаки некоторых четырехугольников
• 1.1 Параллелограмм
• 1.2 Ромб
• 1.3 Прямоугольник
• 1.4 Квадрат
• 2. Реализация моделей геометрических ситуаций в средах динамической геометрии
• 2.1 Особенности динамической среды «Живая геометрия»
• 2.2 Построение моделей некоторых четырехугольников в среде «Живая геометрия»
• Заключение
• Список использованных источников

Задачи, относящиеся к теме «Четырехугольники» рассредоточены по многим сборникам и учебникам. Кроме того, в основном даются задачи на доказательство свойств четырехугольников.

В данной работе подобраны задачи такого типа, то есть задачи на доказательство признаков некоторых четырехугольников. Каждое из условий задачи исследуется на достаточность.

Среди приведенных задач — задачи которые обычно рассматриваются при изучении темы «Параллелограмм и задачи на выявление нестандартных признаков параллелограмма» .

Кроме параллелограмма в работе рассмотрены другие виды четырехугольников — ромб, квадрат, прямоугольник.

В курсовой работе применяем среду «Живая геометрия» для построения четырехугольников.

" Живой геометрия" не является обучающей и «сама ничего не делает» , — все чертежи в ней создаются пользователем, а программа лишь предоставляет для этого необходимые средства так же, как и возможности для усовершенствования чертежей и их исследования. Имеющаяся система преобразований позволяет производить над объектами такие операции, как отражение, растяжение, сдвиги, повороты. А главное, во время работы с «Живой геометрией» вы берете мышкой точку на созданном вами чертеже и перемещаете ее по предписанной траектории. При этом изменяется длина, форма линий, то есть первоначальное изображение принимает совсем иные формы.

Цель работы: реализация динамических моделей некоторых четырехугольников на основе их признаков.

Задачи работы:

1. Сформулировать и доказать признаки некоторых четырехугольников.

2. Изучить возможности динамической среды «Живая геометрия»

3. Разработать динамические модели некоторых четырехугольников.

Поставленные задачи определили структуру работы. Основная часть работы состоит из 2 глав. Первая содержит признаки некоторых четырехугольников: параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата. Во второй главе рассматриваются реализация моделей геометрических ситуаций в средах динамической геометрии.

четырехугольник ромб динамическая модель

1. Признаки некоторых четырехугольников

1.1 Параллелограмм

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Признак 1. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD данный четырехугольник, у которого AB=CD, BC=AD.

Доказать: что ABCD — параллелограмм.

Доказательство: ?ABC=?CDA (по 3 признаку) => (по признаку параллельности прямых) BC¦AD, AB¦CD=>ABCD — параллелограмм (рисунок 1) ||

Рисунок 1.

Признак 2. Если в четырехугольник две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD данный четырехугольник, у которого AB¦CDи AB=CD.

Доказать: что ABCD — параллелограмм.

Доказательство: AB¦CD =>BCA=DCA. Тогда?ABC=?CDA (1 признак) =>BCA=DAC=>BC¦AD (по признаку параллельности прямых). AB¦CD, BC¦AD=>ABCD — параллелограмм (рисунок 2).

Рисунок 2.

Признак 3. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD данный четырехугольник, у которогоABC=CDA, BCD=DAB

Доказать: что ABCD — параллелограмм.

Доказательство: Сумма углов четырехугольника равна 360°=>ABC+CDA+BCD+DAC=360°=>2ABC+2DAB=360°=>ABC+DAB=180°=>BC¦AD (по признаку параллельности прямых). Аналогично доказывается, что AB¦CD, BC¦AD=>ABCD — параллелограмм (рисунок 3).

Рисунок 3.

Признак 4. Если в четырехугольнике ABCDBAC=ACD иBCA=DAC то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: BAC=ACD; BCA=DAC. Доказать: что ABCD — параллелограмм. Доказательство: очевидно следует из параллельности прямых (рисунок 4).

Рисунок 4.

Можно показать, что одного из условий, т. е. равенства BAC=ACD (либо BCA=DAC), недостаточно для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом. Приведем контр пример: трапеция. BCA=DAC, но ABCD (рисунок 5).

Рисунок 5.

Признак 5. Если четырехугольнике имеет центр симметрии, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырехугольник, O - центр симметрииABCD.

Доказать: что ABCD — параллелограмм.

Доказательство: пусть O — центр симметрии Z₀: A?A': AO=OA', но A'ЎК (OA) =>A'=C; B?B', ноB'ЎК (OB) =>B'=D=>OB=OD, OC=OA=>ABCD — параллелограмм (рисунок 6).

Рисунок 6.

Признак 6. Если отрезок произвольной прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей четырехугольник, заключенный между сторонами четырехугольник, делиться этой точкой пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — данный четырехугольник, диагонали которого AC и BD пересекаются в точке O.

Доказать: что ABCD — параллелограмм.

Доказательство: проводим через точку OпрямыеEF и MN: EF?BC=F, EF?AD=E, MN?BC=M, MN?AD=N.

Тогда ?OFM=?OEN (по 1 признаку) =>OMF=ONE=>BC¦AD (по признаку параллельности прямых),

Аналогично доказывается, что AB¦CD, BC¦AD=>ABCD — параллелограмм (рисунок 7).

Заметим, что в условии задачи противоположность сторон, между которыми заключен рассматриваемый отрезок, является избыточным условием, т.к. любая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей пересекает противоположные стороны.

Рисунок 7.

Признак 7. Пусть AMDM₃ и ABCD — четырехугольники. Тогда если точка M₃ является образом точки M при композиции центральных симметрий Z_L?Z_N?Z_K, где K, N, L — середины AB, BC, CD соответственно, то AMDM₃ — параллелограмм.

Дано: в плоскости четырехугольника ABCD дана точка М. построены точка М₁, относительно середины стороны AB; точка М₂, симметричная с М₁ относительно середины стороны BC; точка М₃ симметричная с М₂ относительно середины стороны CD.

Доказать: что ABCD — параллелограмм.

Доказательство: K — середина AB; N — середина BC; L — середина CD.

Z_K: M?M₁, A?B=>AM?BM₁=>AM=BM₁, AM=BM₁ Z_N: M₁?M₂, B?C=>BM₁?CM₂=>BM₁=CM₂, BM₁¦CM₂, AM¦CM₂

Z_L: M₂?M₃,

C?D=>CM₂?DM₃=>CM₂=DM₃, CM₂¦DM₃=>AM=DM₃, AM¦DM₃=>AMDM₃ — параллелограмм (рисунок 8).

Рисунок 8.

Признак 8. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник.

Дано: ABCD — четырехугольник. AC и BDпересекаются в точке Ои OB=OD, OA=OC.

Доказать: что ABCD - параллелограмм.

Доказательство: ?AOB=?COD (по первому признаку) =>DCO=BAO=>AB¦AB; ?BOC=?DOA (попервому признаку) =>OCB=OAD=>BC¦AD=>ABCD - параллелограмм (рисунок 8.1).

Рисунок 9

1.2 Ромб

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Признак 1. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм — ромб.

Дано: Пусть ABCD — данный параллелограмм и AC ЎН BD.

Доказать: что ABCD — ромб.

Доказательство.

Д AOB = Д COB по первому признаку равенства треугольников (ЎП AOB = ЎП BOC, по условию, AO = OC — по свойству диагоналей параллелограмма, BO — общая). Следовательно, AB = BC. По свойству противолежащих сторон параллелограмма AB = DC, BC = AD, т. е. все стороны равны, значит ABCD — ромб (рисунок 9).

Рисунок 9

Признак 2. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм — ромб.

Доказать: что ABCD — ромб.

Дано: Пусть ABCD — данный параллелограмм и ЎП CAB = ЎП CAD.

ЎП CAD = ЎП ACB как внутренние накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC. А по условию ЎП CAB = ЎП CAD, следует что Д ABC — равнобедренный (ЎП CAB = ЎП ACB, признак равнобедренного треугольника). Поэтому, AB = BC. Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD, BC = AD. Тогда AB = BC = CD = AD. Таким образом, ABCD — ромб (рисунок 10).

Рисунок 10

1.3 Прямоугольник

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Признак 1. Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.

Дано: Пусть дан параллелограмм ABCD и ЎП A = ЎП B = ЎП С = ЎП D.

Доказать: что ABCD — прямоугольник.

Доказательство.

Углы A и B являются внутренними односторонними, а значит их сумма равна 180 є. По условию они равны, значит каждый из них равен 90 є. Значит, ЎП A = ЎПB = ЎП С = ЎП D = 90 є. А параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник (рисунок 11).

Рисунок 11

1.4 Квадрат

Определение. Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Признак 1. Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то он квадрат.

Дано: Пусть ABCD — данный прямоугольник.

Доказать: что ABCD — квадрат.

Доказательство:

Проведем диагонали AB, CD.

Рассмотрим треугольник ABC:

1. AO=OC (свойство параллелограмма), следует BO — медиана

2. AOB=BOC=90° (AC перпендикулярна BD), следует BO-высота

Если в треугольнике медиана является высотой, то треугольник ABC-равнобедренный, поэтому сторона AB=BC.

Итак, в прямоугольнике стороны AB=BC=CD=AD, отсюда, по определению, следует, что это квадрат (рисунок 12).

Рисунок 12

Признак 2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то это квадрат.

Дано: Пусть ABCD — данный параллелограмм.

Доказать: что ABCD — квадрат.

Доказательство.

Проведем диагонали AC и BD.

Так как ABCD — параллелограмм, а диагонали перпендикулярны, ледует ABCD — ромб, поэтому стороны AB, BC, CD, AD равны между собой.

Так как ABCD — параллелограмм, а диагонали равны, следует ABCD — прямоугольник.

Итак, в прямоугольнике стороны AB=BC=CD=AD, отсюда, по определению, следует, что это квадрат (рисунок 13).

Рисунок 13.

2. Реализация моделей геометрических ситуаций в средах динамической геометрии

2.1 Особенности динамической среды «Живая геометрия»

Имеется целый ряд программ динамической геометрии, более или менее профессиональных, со своими преимуществами и недостатками. Наиболее известны в настоящее время программы CinderellabZirkerundLineal (Германия), GeoGebra (Австрия). Эти программы замечательные тем, что относятся к системам с открытым кодом и свободно распространяются, что способствует созданию их разноязычных версий.

Концепция динамической геометрии стала в определенной мере реакцией на бурбакистскую тенденцию в обучении математике. Основатели проекта положили в основу изучение геометрии эксперимент, наглядность, эвристическую деятельность чему в значительной мере способствовало распространение персональных компьютеров.

При работе с программами динамической геометрии пользователь строит чертежи не на бумаге, а на экране компьютера. Когда пользователь строит чертеж в программе динамической геометрии, он фактический конструирует алгоритм построения. Построенный чертеж получается динамическим. Например: если пользователь правильно построил вписанную в треугольник окружность, она должна оставаться вписанной, даже если изменить форму треугольника, «потянув» за вершины. Такая устойчивость показывает, что построение верное.

Сильной стороной также является наличие операций трансформации (параллельный перенос, вращение, отражение, изменение пропорций), подобные операции отсутствуют в большинстве ИГС.

Программы динамической геометрии моделируют геометрическую среду, то есть, геометрические понятия и операции с ними. Интерфейсы современных инструментальных предметных программ создаются так, чтобы учесть сложившиеся традиции работы в этой предметной области. Поэтому работу с программой можно начинать не с чтения руководств, а с работы в этой среде. Разумеется, нужно быть знакомым с устройством стандартного графического интерфейса (например, Windows) и иметь навыки работы с мышкой (как сделать щелчок, двойной щелчок, как «схватить» объект и как «переместить» его и т. п.).

Технические особенности

Программная среда «Живая геометрия» :

· поддерживает автоматическую проверку геометрических построений и символьных ответов, передачу оценки в электронный журнал современных систем управления учебным процессом;

· имеет удобный, интуитивно понятный графический интерфейс, позволяет настраивать интерфейс создаваемых учебных моделей;

· обеспечивает экспорт создаваемых учебных моделей в виде интернет-совместимых java-апплетов, независимых от программы-редактора, но позволяющих использовать все возможности конструктивной среды;

· обеспечивает возможность работы на компьютерах под управлением операционных систем Windows, Linux, MacOS;

допускает произвольное расширение возможностей конструктивной среды и учебных моделей за счет использования макросов и встроенного скриптового языка программирования.

2.2 Построение моделей некоторых четырехугольников в среде «Живая геометрия»

1. Ромб — параллелограмм с перпендикулярными диагоналями. Параллелограмм можно построить как четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Построение (рисунок 14): отрезок АС; О — середина АС; точкиВ и D — точки пересечения окружности с центром в точке О и прямой, проходящей через точку О перпендикулярно АС.

Рисунок 14

2. Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то он квадрат.

Пусть w-данная окружность с центром в точки О и радиусом R. Через точку О проведемдиаметр АС, и к этому діаметру проведем серединный перпендикуляр, который пересечет окружность w в двух точках В и D. Теперь последовательно соединим точки A, B, C и D. ABCD-искомый квадрат (рисунок 15).

Рисунок 15

3. Параллелограмм — четырехугольник противоположные стороны которого попарно равны. Построение (рисунок 16): отрезок AB, строим окружность w₁ в центре в точкеА, окружность w₂ в центре в точке А, окружности w₃, w₄ в центре в точке C. ТочкаВ точка пересечения w₂ и w₃, а точка D, точка пересечения w₁ и w₄. ABCD — искомый параллелограмм.

Рисунок 16.

4. Параллелограмм — четырехугольник противоположные стороны которого попарно равны и параллельны. Построение (рисунок 17): прямая l и параллельная ей прямая k, берем произвольную точку B на прямой l, проводим окружность радиуса n, в центре в точке B. И пересечение w₁ с прямойl — точка C. На прямой k берем произвольную точку D, проводим окружность радиуса n, в центре в точке D. Точка A, точка пересечения окружности w₂с прямой k. ABCD — параллелограмм.

Рисунок 17.

5. Если в четырехугольнике ABCDBAC=ACDиBCA=DAC то этот четырехугольник — параллелограмм. Построение (рисунок 18): произвольно берем отрезок AC, проводим окружность w₁в центре в точкеА и в точке пересечения окружности с отрезком АС, строим окружность w₃. Через точку пересечение окружностей проводим луч АЕ. Так же строим угол С, проводим окружность w₈в центре в точке С и в точке пересечения окружности с отрезком АС, строим окружность w₇. Через точку пересечения окружностей проводим луч СН. Таким же образом строим лучи AF, CG. Строим точки пересечения лучей B, D. ABCD — параллелограмм.

Рисунок 18.

6. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник. Построение (рисунок 19): произвольно на плоскости берем точкуО, строим две окружности разного радиуса центром в точке О. Проводим две диагонали исходных окружностей. Соединяем точки пересечения AB, BC, CD, AD. ABCD - параллелограмм.

Рисунок 19.

7. Ромб — четырехугольник с равными сторонами. Построение (рисунок 20): окружность с центром в точке В; точки А и С на этой окружности; окружность с центром в точке С и радиуса СВ и окружность с центром в точкеА и радиуса АВ; точка D принадлежит пересечению двух последних окружностей.

Рисунок 20−26

8. Ромб — четырехугольник, симметричный относительно прямых, содержащих его диагонали. Построение (рисунок 21): прямая b; отрезок АВ, В принадлежит прямойb, А не принадлежит прямойb; отрезок ВС — образ отрезка ВА при осевой симметрии относительно прямой b (в «Живой геометрии» используются инструменты «Преобразования — Отметить ось отражения», «Преобразования — Отразить»); отрезки AD и CD — образы отрезков АВ и СВ при осевой симметрии относительно прямой АС.

Рисунок 27

Заключение

В процессе исследования цель курсовой работы достигнута, полностью решены поставленные задачи, получены следующие результаты и выводы.

Сформулированы и доказаны признаки некоторых четырехугольников. Доказаны семь признаков параллелограмма, два признака ромба, признак прямоугольника и два признака квадрата.

Реализовано построение динамических моделей некоторых четырехугольников на основе их признаков. Приведена иллюстрация данных построений, реализованных в среде «Живая геометрия» .

Изучены возможности динамической среды «Живая геометрия». Имеющаяся система преобразований позволяет производить над объектами такие операции, как отражение, растяжение, сдвиги, повороты. во время работы с «Живой геометрией» вы берете мышкой точку на созданном вами чертеже и перемещаете ее по предписанной траектории. При этом изменяется длина, форма линий, то есть первоначальное изображение принимает совсем иные формы. Построенный чертеж получается динамическим.

Список использованных источников

1. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Часть первая. М.: Просвещение, 1986. — 268с.

2. Аргунов Б. М., Балк М. Б. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1986. — 422 с.

3. Бахман Ф. М. Построение геометрии на основе понятия симметрии. М.: Просвещение, 1969. — 356 с.

4. Беккер Б. М., Некрасов В. Б. Применение векторов к решению задач. С-Пб.: Питер, 1997. — 188 с.

5. Беляев М. И. Природные механизмы законов сохранения. Симметрия и асимметрия. М.: Наука, 2007. — 126 с.

7. Берман Г. Н. Циклоида. Об одной замечательной кривой линии и некоторых других, с ней связанных. 3-е изд. М.: Наука, 1980. — 112 с.

8. Боголюбов С. К. Задания по курсу черчения (в двух книгах): Учеб. пособие для техникумов. — Книга первая: Основы черчения и начертательной геометрии. М.: Высш. школа, 1978. — 168 с.

10. Вигнер Ю. Симметрия и законы сохранения. М.: Наука, 1963. — 122 с.

13. Власов В. Г. Золотое сечение // Большой энциклопедический словарь изобразительного искусства. М.: Академия, 2003. — Т.3. — С.174−180.

14. Вольхин К. А. Астахова Т.А. Геометрические основы построения чертежа. Геометрическое черчение. Электронное учебное пособие. Новосибирск, 2004 15. Воротников И. А. Занимательное черчение.2-е изд., доп. М.: Просвещение, 1969. — 149 с.: ил.

17. Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.: ил.

18. Дадаян А. А. Основы черчения и инженерной графики. Геометрические построения на плоскости и в пространстве. М.: Изд-во Форум, 2007. — 464 с.: ил.

19. Емельянов А. Е. Универсальная геометрия в природе и архитектуре. (Симметрия, гармония, абсолютные системы отсчета). Донбасс, 1990.