Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

Теорема 1 (Дирихле).

Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).

Теорема 2.

Если f(x) периодическая функция с периодом, которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f(x) — четная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию.

f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=.

=.

= 0, где n=1,2,.. .

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:

Пусть теперь f(x) — нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

где n=1,2,.. .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то.

где ,.

.

.

Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0, L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо: доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.