Построение трендовой функции ряда. 
Оценка качества эконометрической модели

НГПУ

Кафедра Математические методы в экономике

Контрольная работа Выполнил: студент 3 курса Коломыченко Лариса Проверил: Куликова Людмила Георгиевна

Новосибирск 2012

Текст индивидуального задания

Скопировать файл S: MMM|DATA.xls в каталог D: на Вашем компьютере. Из файла D:|DATA.xls (таблица динамики показателей экономического развития РФ за период: январь 1994 — декабрь 1997) взять данные, соответствующие вашему варианту, из столбцов

.

(имена столбцов в каждом варианте определяет преподаватель).

1. Перевести названия столбцов на русский язык. Ответить на вопрос, вытекает ли из общей экономической теории существование значимой зависимости параметра от каждого из факторов, ,. Дать теоретическое обоснование ответа.

2. Проверить по 5%-му критерию ДарбинаУотсона, является ли ряд w автокоррелированным. Построить трендовую функцию ряда w вида. Проверить, являются ли остатки u_t автокоррелированными.

3. Используя стандартные функции Excel, вычислить коэффициенты регрессионной зависимости .

4. Оценить качество эконометрической модели, построенной в вашем исследовании, с использованием коэффициента детерминации

.

5. По критерию Стьюдента построить доверительные интервалы для коэффициентов при уровне значимости и сделать заключение о характере зависимости ряда от соответствующих факторов (, ,) по предложенным статистическим данным.

6. Построить графики исходного ряда зависимой переменной, оцененного ряда и остатков .

Ответ на 1 вопрос (Перевести названия столбцов на русский язык. Ответить на вопрос, вытекает ли из общей экономической теории существование значимой зависимости параметра от каждого из факторов, ,. Дать теоретическое обоснование ответа).

Взаимосвязи

HOUSEHOLDS (Домохозяйство)

EXTERNAL SECTOR (Внешний сектор)

PRICES (Цены)

STATE BUDGET (Гос. бюджет)

Государственный бюджет — важнейший финансовый документ страны. Он представляет собой совокупность финансовых смет всех ведомств, государственных служб, правительственных программ и т. д. В нём определяются потребности, подлежащие удовлетворению за счёт государственной казны, равно как указываются источники и размеры ожидаемых поступлений в государственную казну.

Домашние хозяйства (сектор домашних хозяйств) — это совокупный макроэкономический субъект, он включают все частные хозяйственные ячейки внутри страны, деятельность которых направлена на удовлетворение собственных потребностей. Все факторы производства находятся в собственности домашних хозяйств. За счет их продажи (или предоставления в аренду) последние получают доход, который распределяют между текущим потреблением и сбережением.

Домохозяйства пополняют доходную часть государственного бюджета на всех его уровнях.

Домохозяйства посредством участия их членов в управлении фирмами и госпредприятиями оказывают воздействие и на организацию производства.

Во всех странах с рыночной экономикой действуют механизмы государственного перераспределения денежных доходов, поэтому принято разделять первичные и располагаемые денежные доходы домохозяйств (населения).

Первичные доходы частных домохозяйств складываются в результате рыночных сделок — продажи факторов производства и товаров. Соответственно, они образуются за счет заработной платы наемных работников (вознаграждения за труд как фактора производства), доходов от собственности, предпринимательского дохода, а также доходов от самозанятости. При этом все подлежащие оплате проценты вычитаются из получающейся суммы доходов.

Далее вступают в действие механизмы государственного перераспределения доходов. Все социальные выплаты и трансферты (кроме выдаваемых в натуральной форме) добавляются к первичным доходам домохозяйств, и уже из этой суммы выплачиваются подоходные и имущественные налоги, социальные взносы и платежи. В результате остается располагаемый доход домохозяйства.

Внешний сектор экономики — это совокупность экономических отношений, обеспечивающих взаимосвязь и взаимодействие национальных экономик и мирового хозяйства. В более узком смысле это совокупность отношений между национальными хозяйствующими субъектами и аналогичными субъектами в других странах.

Внешний сектор также напрямую связан с государственным бюджетом любой страны. По определению, сумма всех видов бюджетных доходов должна быть равна сумме всех видов бюджетных расходов:

экономический оценочный матрица переменная

REV+ F= EXP

где REV — доходы бюджета (revenues), EXP — расходы бюджета (expenditures), F — финансирование (financing).

В доходы бюджета обычно включаются текущие доходы от налогов, доходы от вложения капитала и государственные дотации, а в расходы — текущие государственные расходы, капиталовложения и чистое кредитование. Существуют и другие определения композиции бюджета. Например, субсидии могут рассматриваться как статья финансирования, особенно если остальные виды финансирования значительно субсидируются и не слишком отличаются от дотаций как таковых. Чистые кредиты могут также считаться финансированием, что стирает различия между финансированием, являющимся целью государственной политики, и финансированием, осуществляемым в целях управления государственной ликвидностью.

Цена — количество денег, в обмен на которые продавец готов передать (продать), а покупатель согласен получить (купить) единицу товара. По сути, цена является коэффициентом обмена конкретного товара на деньги. Величину соотношений при обмене товаров определяет их стоимость. Поэтому цена является стоимостью единицы товара, выраженной в деньгах, или денежной стоимостью единицы товара, или денежным выражением стоимости. Это фундаментальная экономическая категория.

Цена выражает количественную меру созданной в процессе производства стоимости. Взаимодействие госбюджета и цены проявляется в следующих общих чертах:1) Обе категории участвуют в распределении стоимости ВВП;2) Цены оказывают непосредственное влияние на госбюджет;3) Обе категории проявляют себя и как инструменты регулирования доходов различных отраслей экономики, предприятий, территорий и различных категорий населения.

Ответ на 2 вопрос (Проверить по 5%-му критерию ДарбинаУотсона, является ли ряд w автокоррелированным. Построить трендовую функцию ряда w вида. Проверить, являются ли остатки u_t автокоррелированными).

Автокорреляция — это корреляция между уровнями ряда или отклонениями от тренда, взятыми со сдвигом во времени, поэтому говорят о коэффициентах автокорреляции разных порядков: первого, второго, третьего и т. д.

К наиболее сложным задачам эконометрики относится изучение причинно-следственных зависимостей переменных, представленных в форме рядов динамики. Нужно проявлять особую осторожность в попытках использовать для этого традиционные методы корреляционно-регрессионного анализа. Дело в том, что эти ситуации характеризуются существенной спецификой и для адекватного исследования их имеются специальные методы, учитывающие эту специфику ситуации. На предварительном этапе анализа исследуется наличие в исходных данных сезонных или циклических колебаний в качестве выявления структуры изучаемого ряда динамики. Если такие компоненты имеются, то до проведения дальнейшего исследования взаимосвязи следует устранить сезонную или циклическую компоненту из уравнений ряда. Это необходимо, поскольку наличие таких компонент приведет к завышению истинных показателей силы и тесноты связи изучаемых рядов динамики, когда оба ряда содержат циклические компоненты одинаковой периодичности. Если же сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний в этих рядах различна, то соответствующие показатели будут занижены.

Для обнаружения автокорреляции остатков модели регрессии используется критерий Дарбина-Уотсона.

Критерий Дарбина-Уотсона (или DW-критерий)-статистический критерий, используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяет при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей. Критерий назван в честь Джеймса Дарбина и Джеффри Уотсона.

С помощью критерия можно обнаружить автокорреляцию первого порядка.

Предположим, что на основе собранных данных была построена линейная модель множественной регрессии, которая представлена в матричном виде:

Y=Xв+еt.

Присутствующая в данной модели регрессии автокорреляция первого порядка может генерировать ошибку, определяемую по формуле:

еt= pеt-l+vt

где pкоэффициент автокорреляции, ?p?<1;

vt-независимые, одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2(vt).

Перед исследователем стоит задача определения наличия автокорреляции первого порядка в построенной модели регрессии.

Выдвигается основная гипотеза о незначимости коэффициента автокорреляции первого порядка: H0: pl=0.

Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в утверждении о значимости коэффициента автокорреляции:: H0: pl?0.

Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением критерия Дарбина-Уотсона, которое определяется по специальным таблицам.

Критическое значение критерия Дарбина-Уотсона определяется в зависимости от значений верхней dl и нижней d2 границ критерия по специальным таблицам. Данные границы определяются в зависимости от объема выборочной совокупности n и числа степеней свободы (h-1), где h-количество оцениваемых по выборке параметров.

Наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона при проверке основной гипотезы вида: H0: pl=0 определяется по формуле:

dнабл=

где et-остатки модели регрессии в наблюдении t, определяемые по формуле: e_t=y_t-?_t= y_t-в₀-в₁x_1t-…-в_nx_nt;

e_t-1-остатки модели регресии в наблюдении t-1, определяемые по формуле:

e_t-1= y_t-1— ?_t-1= y_t-1— в₀-в₁x_1t-1-…-в_nx_nt-1.

Приближенное значение величины критерия Дарбина-Уотсона можно также рассчитать по формулеdнабл=2(l-rl), где rl-выборочный коэффициент автокорреляции первого порядка. В зависимости от величины данного коэффициента, наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона определяется сл. образом:

1) если rl=0, то dнабл=2;

2) если rl=+1, то dнабл=0;

3) если rl=-1, то dнабл=4.

Если коэффициент автокорреляции является положительной величиной, то при проверки гипотез возможно возникновение сл. ситуаций.

Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критического значения его нижней границы, т. е dнабл

Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Ултсона больше критического значения его верхней границы, т. е dнабл>d2, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.

Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Ултсона находится между верхней и нижней критическими границами, т. е dl

Если коэффициент автокорреляции является отрицательной величиной, то при проверки гипотез возможно возникновение сл.ситуаций.

Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Ултсона больше критической величины 4-dl, т. е dнабл>4-dl, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется.

Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Ултсона меньше критической величины 4-d2, т. е dнабл>4-d2, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.

Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Ултсона находится в критическом интервале между величинами 4-dl и 4-d2, т. е 4-dl<4-d2, то достаточных оснований для принятия единственно правильного решения нет, необходимы дополнительные исследования.

w	?w
167,80 000
187,70 000	19,90 000
147,30 000	— 40,40 000
269,60 000	122,30 000
168,70 000	— 100,90 000
165,80 000	— 2,90 000
216,10 000	50,30 000
375,0	158,90 000
288,0	— 87,0
276,0	— 12,0
250,0	— 26,0
453,0	203,0
88,79 500	— 364,20 500
316,40 000	227,60 500
562,59 500	246,19 500
110,10 600	— 452,48 900
530,44 100	420,33 500
515,6 300	— 15,37 800
297,29 600	— 217,76 700
369,93 500	72,63 900
322,11 200	— 47,82 300
616,9 600	293,98 400
818,41 800	202,32 200
253,37 000	— 565,4 800
70,34 600	— 183,2 400
714,13 700	643,79 100
655,74 100	— 58,39 600
755,76 900	100,2 800
274,88 100	— 480,88 800
468,81 300	193,93 200
542,10 500	73,29 200
400,10 000	— 142,500
629,44 800	229,34 800
691,69 100	62,24 300
372,87 900	— 318,81 200
1056,35 000	683,47 100
110,17 000	— 946,18 000
329,96 000	219,79 000
962,87 000	632,91 000
907,16 000	— 55,71 000
848,74 000	— 58,42 000
629,60 000	— 219,14 000
1311,10 000	681,50 000
960,10 000	— 351,0
487,86 000	— 472,24 000
756,67 100	268,81 100
742,60 400	— 14,6 700	DW
2283,26 500	1540,66 100	1,29 968

Вывод: Т.к. DW

w	t	wt с волной	Ut	Wt=wср+d*(t-tср)+ut	?Ut
167,80 000		91,7 943 282	76,72 057	167,8	78,57 431
187,70 000		109,1 256 866	78,57 431	187,7	— 58,44 625
147,30 000		127,1 719 403	20,12 806	147,3	104,25 375
269,60 000		145,2 181 941	124,38 181	269,6	— 118,94 625
168,70 000		163,2 644 478	5,43 555	168,7	— 20,94 625
165,80 000		181,3 107 015	— 15,51 070	165,8	32,25 375
216,10 000		199,3 569 553	16,74 304	216,1	140,85 375
375,0		217,403 209	157,59 679		— 105,4 625
288,0		235,4 494 628	52,55 054		— 30,4 625
276,0		253,4 957 165	22,50 428		— 44,4 625
250,0		271,5 419 703	— 21,54 197		184,95 375
453,0		289,588 224	163,41 178		— 382,25 125
88,79 500		307,6 344 778	— 218,83 948	88,795	209,55 875
316,40 000		325,6 807 315	— 9,28 073	316,4	228,14 875
562,59 500		343,7 269 853	218,86 801	562,595	— 470,53 525
110,10 600		361,773 239	— 251,66 724	110,106	402,28 875
530,44 100		379,8 194 927	150,62 151	530,441	— 33,42 425
515,6 300		397,8 657 465	117,19 725	515,063	— 235,81 325
297,29 600		415,9 120 002	— 118,61 600	297,296	54,59 275
369,93 500		433,958 254	— 64,2 325	369,935	— 65,86 925
322,11 200		452,45 077	— 129,89 251	322,112	275,93 775
616,9 600		470,507 615	146,4 524	616,096	184,27 575
818,41 800		488,970 152	330,32 098	818,418	— 583,9 425
253,37 000		506,143 269	— 252,77 327	253,37	— 201,7 025
70,34 600		524,1 895 227	— 453,84 352	70,346	625,74 475
714,13 700		542,2 357 765	171,90 122	714,137	— 76,44 225
655,74 100		560,2 820 302	95,45 897	655,741	81,98 175
755,76 900		578,3 282 839	177,44 072	755,769	— 498,93 425
274,88 100		596,3 745 377	— 321,49 354	274,881	175,88 575
468,81 300		614,4 207 914	— 145,60 779	468,813	55,24 575
542,10 500		632,4 670 452	— 90,36 205	542,105	— 160,5 125
400,10 000		650,5 132 989	— 250,41 330	400,1	211,30 175
629,44 800		668,5 595 527	— 39,11 155	629,448	44,19 675
691,69 100		686,6 058 064	5,8 519	691,691	— 336,85 825
372,87 900		704,6 520 602	— 331,77 306	372,879	665,42 475
1056,35 000		722,6 983 139	333,65 169	1056,35	— 964,22 625
110,17 000		740,7 445 676	— 630,57 457	110,17	201,74 375
329,96 000		758,7 908 214	— 428,83 082	329,96	614,86 375
962,87 000		776,8 370 751	186,3 292	962,87	— 73,75 625
907,16 000		794,8 833 289	112,27 667	907,16	— 76,46 625
848,74 000		812,9 295 826	35,81 042	848,74	— 237,18 625
629,60 000		830,9 758 364	— 201,37 584	629,6	663,45 375
1311,10 000		849,220 901	462,7 791	1311,1	— 369,4 625
960,10 000		867,683 439	93,3 166	960,1	— 490,28 625
487,86 000		885,1 145 976	— 397,25 460	487,86	250,76 475
756,67 100		903,1 608 514	— 146,48 985	756,671	— 32,11 325
742,60 400		921,2 071 051	— 178,60 311	742,604	1522,61 475
2283,26 500		939,2 533 588	1344,1 164	2283,265	— 1344,1 164

Строим ковариационную матрицу.

148 200,0615	3463,377
3463,376 865	191,9167

Обратная матрица

1,16687E-05	— 0,21
— 0,210 577	0,9 011

d	18,4 625

Оценим Ut на автокорреляцию. DW=1,29 968

Вывод: В нашем случае линейный тренд неэффективен в снятии автокоррелированности ряда.

Ответ на 3 вопрос (Используя стандартные функции Excel, вычислить коэффициенты регрессионной зависимости).

Средние значения	90 020,83333	1,49 372	82,52 708	515,16 640

Шаг 1. Вычисление средних значений.

Шаг 2. Построение ковариационной матрицы При вычислении элементов ковариационной матрицы схема выбора аргументов функции КОВАР определена формулой и имеет сл. вид:

XX	XY	XZ	XW
YX	YY	YZ	YW
ZX	ZY	ZZ	ZW
WX	WY	WZ	WW

В результате выполнения шага 2 появится матрица

	— 2505,94		11 692 691,58
— 2505,943	0,318 028	0,283 396	— 48,81 235 134
1 745 834,44	0,283 396	1830,968	8688,439 316
11 692 691,58	— 48,8124	8688,439	148 200,0615

Шаг 3. Вычисление обратной матрицы.

В результате выполнения шага 3 появится матрица

1,06686E-08	4,27E-05	— 8,7E-06	— 3,19903E-07
4,26827E-05	3,566 735	— 0,4 273	0,312 464
— 8,66116E-06	— 0,4 273	0,7 807	0,211 558
— 3,19903E-07	0,312	0,212	1,96873E-05

в которой элементы будем обозначать сл. образом:

Шаг 4. Вычисление коэффициентов a, b, c зависимости (3,1)

Правило № 4. Поскольку в заданной логической модели зависимой переменной является четвертый столбец (W), то коэффициентыa, b, c будут вычисляться по четвертой строке обратной матрицы по формулам:

a=-/

b=-/

c=-/

a	b	c
0,16 249	— 15,8713	— 10,7459

63,59 665
105,2434
160,1026
153,6899
108,8599
174,8218
199,9277
226,8422
252,1645
269,1139
293,7472
534,998
181,4937
210,642
322,6576
320,8574
356,87
483,0763
498,1948
529,8487
596,35
639,2541
697,1313
953,3337
304,81
379,8167
476,6175
509,9255
369,5264
577,4718
539,2874
496,9322
389,1787
438,2345
437,0869
849,3722
603,7727
650,6686
722,8312
901,7848
712,157
901,4608
894,8517
836,6431
806,3265
948,6907
883,9963
1763,726

Ответ на 4 вопрос. (Оценить качество эконометрической модели, построенной в вашем исследовании, с использованием коэффициента детерминации

).

Лемма 1. Об отсутствии смещения оцененных остатков.

ы=0

Лемма 2. О независимости факторов и оцененных остатков.

где j

Лемма 3. О разложении дисперсии зависимых переменных.

где

Лемма 4. О ковариации зависимой переменной и оцененных остатках.

Коэффициент детерминации

0,65 726

Ответ на 5 вопрос.(По критерию Стьюдента построить доверительные интервалы для коэффициентов при уровне значимости и сделать заключение о характере зависимости ряда от соответствующих факторов (, ,) по предложенным статистическим данным).

Вычисление коэффициентов а, в, с (показано в ответе на 3 вопрос).

Шаг 1. Вычисление коэффициентов первой вспомогательной зависимости, которая строится по следующей логической модели

Зависимая переменная	Факторы
Х	Y, Z

Строится ковариационная матрица, при вычислении элементов которой аргументы функции КОВАР задаются по следующей схеме

Y;Y	Y;Z	Y;X
Z;Y	Z;Z	Z;X
X;Y	X;Z	X;X

0,318 028	0,283 396 311	— 2505,94
0,283 396	1830,967 808
— 2505,94	1 745 834,44	1,87E+09

По ней вычисляется обратная матрица со стандартным обозначением элементов.

3,561 776	— 0,46 090 611	4,78E-05
— 0,4 609	0,5 533 932	— 5,2E-06
4,78E-05	— 5,22351E-06	5,47E-09

В соответствии с заданной схемой построения ковариационной матрицы зависимой переменной рассматриваемой логической модели является третий столбец (в порядке использования при вычислении ковариационной матрицы), следовательно коэффициенты вычисляются по третьей строке обратной матрицы (по правилу № 3):

Шаг 2. Вычисление оцененного ряда и остатков первой вспомогательной модели.

Оцененный ряд вычисляется по формуле, остатки — по формуле Шаг 3. Вычисление коэффициентов второй вспомогательной зависимости, которая строится по следующей логической модели

Зависимая переменная	Факторы
W	Y, Z

Строится ковариационная матрица, при вычислении элементов которой аргументы функции КОВАР задаются по следующей схеме

Y;Y	Y;Z	Y;W
Z;Y	Z;Z	Z;W
W;Y	W;Z	W;W

По ней вычисляется обратная матрица со стандартным обозначением элементов.

0,31 803	0,283 396 311	— 48,8124
0,283 396 311	1830,967 808	8688,439
— 48,8 123 513	8688,439 316	148 200,1

В соответствии с заданной схемой построения ковариационной матрицы зависимой переменной рассматриваемой логической модели является третий столбец (в порядке использования при вычислении ковариационной матрицы), следовательно коэффициенты вычисляются по третьей строке обратной матрицы (правило № 3):

Шаг 4. Вычисление оцененного ряда и остатков второй вспомогательной модели.

Оцененный ряд вычисляется по формуле, остатки — по формуле

Шаг 5. Вычислениестатистики по остаткам вспомогательных зависимостей и границы критической области .

Отдельно вычисляем

=КОРЕНЬ (ДИСПР (Арг1))= 13 520,33

=КОРЕНЬ (ДИСПР (Арг2))= 382,6517

=КОРЕНЬ (46)= 6,78 233

=КОРРЕЛ (Арг1;Арг2)= 0,563 887

=КОРЕНЬ (1-^2)= 0,825 852

Окончательно получаем

=3,119 433

Вычисляем границу критической области

Шаг 6. Построение доверительного интервала по формулам

и .

Так как 0 принадлежит интервалу, то по критерию Стьюдента на уровне значимости 0,05 зависимость ряда w от ряда xпризнается незначимой.

Так как 0 не принадлежит интервалу, то по критерию Стьюдента на уровне значимости 0,05 зависимость ряда w от ряда xпризнается значимой и положительной.

Так как 0 не принадлежит интервалу, то по критерию Стьюдента на уровне значимости 0,05 зависимость ряда w от ряда xпризнается значимой и положительной.