Ситуационная (практическая) задача № 2

Имеются поквартальные данные по товарообороту некоторой компании в 1999;2008 гг.

Требуется:

• 1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.
• 2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.
• 3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,99.
• 4. Дать точечный и интервальный прогноз товарооборота компании на 2011 год с надежностью 0,99.

Решение:

1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.

Для проверки гипотезы о наличии тренда воспользуемся критерием серий. Вычислим выборочную медиану исходных данных:

Ме (y_t) = 98,9 млн руб.

Вместо исходных элементов временного ряда Х (t) сформируем последовательность знаков:+, если y_t > Me,.

?, если y_t < Me.

Полученные результаты для временного ряда оформим в виде таблицы:

Вычислим характеристики данной последовательности: количество серий — н, длину максимальной серии — ф: н =6, ф = 2.

Проверим удовлетворяют ли эти значения неравенствам:

н (10) > 0,5(10 + 2 — 1,65) = 3,53.

ф (10) < 1,43ln (10 + 1) = 3,43.

Поскольку оба неравенства выполняются, то гипотеза об отсутствии тренда не отвергается.

2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.

Оценим автокорреляцию, используя следующую формулу:

где.

В результате расчетов для от 1 до 4 получаем следующие значение автокорреляции:

Значения коэффициентов автокорреляции позволяют сделать вывод об отсутствии сезонности.

3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,99.

Найдем оценку уравнения линейного тренда методом наименьших квадратов. Составим расчетную таблицу:

Тогда:

Решением этой системы являются числа: a₀=98,253 и a₁=0,239.

Следовательно, уравнение тренда будет иметь вид: .

Для проверки значимости уравнения рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера. Для этого заполним таблицу:

год.
		98,493.	2,272.	0,185.	20,25.
	93,9.	98,732.	23,349.	32,149.	12,25.
	96,5.	98,972.	6,108.	9,425.	6,25.
	101,8.	99,211.	6,703.	4,973.	2,25.
	107,8.	99,450.	69,717.	67,733.	0,25.
	95,7.	99,690.	15,918.	14,977.	0,25.
	98,2.	99,929.	2,990.	1,877.	2,25.
		100,168.	14,681.	19,625.	6,25.
		100,408.	1,982.	0,325.	12,25.
	98,8.	100,647.	3,412.	0,593.	20,25.
Итого.	995,7.	995,7.	147,133.	151,861.	82,5.

Тогда:

При уровне значимости =0,01 и количестве степеней свободы k₁=1, k₂=10−2=8 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно F_кр(0,01;1;8)=11,259. Неравенство F_ф > F_кр не выполняется, поэтому уравнение тренда признается незначимым, т. е. могло сформироваться под воздействием случайных факторов.

4. Дать точечный и интервальный прогноз товарооборота компании на 2011 год с надежностью 0,99.

С помощью уравнения тренда рассчитаем точечный и интервальный прогноз товарооборота компании на 2011 год.

Точечный прогноз находим по уравнению тренда при t=13:

=98,253+0,23 913=101,365 млн руб.

Интервальный прогноз:

=101,3653,3553,792=101,36 512,723.

=88,642 млн руб., =114,089 млн руб.