Работы академика А. А. Маркова по математическому анализу

Как и все выдающиеся русские математики, А. А. Марков занимался многими проблемами математического анализа. Его внимание привлекали теория непрерывных дробей, исчисление конечных разностей, теория интерполирования функций, экстремальные задачи в функциональных пространствах, проблема моментов, теория ортогональных многочленов, квадратурные формулы, дифференциальные уравнения, теория функций, наименее уклоняющихся от нуля, и другие вопросы. По многим разделам математического анализа А. А. Марков получил выдающиеся результаты, которые играют важную роль и в наши дни.

В общем списке научных трудов А. А. Маркова работы по математическому анализу составляют более одной третьей части. Наиболее важные из этих работ содержатся в сборнике избранных трудов А. А. Маркова, опубликованном в 1948 г.

А.А. Марков воспринял идеи своего учителя великого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева и занимался решением многих задач, поставленных в его трудах. В результате этого классические работы П. JI. Чебышева и А. А. Маркова о предельных величийах интегралов составили основы теории моментов и теории экстремальных задач в функциональных пространствах.

Многие результаты А. А. Маркова имеют различные интерпретации, обобщения и продолжения. При изучении научного наследия А. А. Маркова некоторые авторы по-разному понимают результаты, полученные ученым, ибо во многих случаях его оригинальные доказательства, обладая большим запасом общности, позволяют усилить формулировки и применить эти доказательства в других, более сложных случаях.

Самой характерной особенностью научных работ А. А. Маркова является то, что наиболее важные его результаты постоянно упоминаются и цитируются во многих работах по математическому анализу и в настоящее время. При этом некоторые теоремы А. А. Маркова называются классическими и формулируются в несколько ином виде, чем в работах самого А. А. Маркова. Например, сейчас наиболее цитируема классическая теорема А. А. Маркова о сходимости подходящих дробей некоторой непрерывной дроби, в которую разлагается интеграл типа Коши вне сегмента-носителя меры.

Выдающимся научным произведением является монография А. А. Маркова «Исчисление конечных разностей», изданная в 1910 г. В этой монографии А. А. Марков с большим научным и педагогическим мастерством изложил многие важные вопросы математического анализа. Эта монография — одна из самых популярных книг по математическому анализу. Она постоянно упоминается и даже конкретно цитируется не только во многих работах по математическому анализу, но и в некоторых книгах по вычислительной математике.

В настоящей работе рассматриваются наиболее важные результаты А. А. Маркова по математическому анализу, описывается также развитие и продолжение этих результатов и значение их в современной математике.