Действительные числа. 
Методики введения различных множеств чисел для школьников и студентов и выявление наиболее оптимально варианта

Итак, мы ввели множество натуральных чисел, которое обозначается Затем было введено число нуль и отрицательные, которые очень долго пробивали себе путь, потому что многие их отвергали, но потом оказалось, что они очень удобны. Натуральные числа, число нуль и отрицательные составляют множество целых чисел Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Далее пришлось многие вещи, деньги делить. Благодаря этому появились дроби. Но дроби определённого характера: числитель их — целое число, а знаменатель — натуральное. Множество таких «хороших» дробей именуется множество рациональных чисел Теперь же думали, что существует взаимно однозначное соответствие между координатной прямой и множеством всех рациональных чисел. Пока в Древней Греции не построили прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1 и не попытались найти его гипотенузу. Тогда уже знали теорему Пифагора, и написали, что гипотенуза равна корню из 2. И попытались было понять, что корень из двух тоже рациональное число. Но выяснилось, что это не так. Это мы уже доказали. Так появилась необходимость внедрения множества иррациональных чисел.

Множеством действительных (вещественных) чисел называют множество всех иррациональных чисел и всех иррациональных чисел. Таким образом, оказывается, что любое действительное число представляется бесконечной десятичной дробью. Множество всех действительных чисел обозначается .

Действительные числа упорядочены по величине, т. е. для любых двух действительных чисел x и y справедливо одно и только одно из соотношений:

. [4].

Действия над действительными числами аналогичны действиям на множестве рациональных чисел.

Можем говорить о том, что множество действительных чисел введено и операции на нём введены.