Основы алгебры. 
Основы алгебры

Задача.

А) Найти область допустимых решений. Решить задачу графически.

F (х1,х2)= x1+x2>min.

Решение:

Построим на плоскости X1OX2 многоугольник решений — область допустимых решений задачи. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств.

Построим прямые (для этого достаточно двух точек для каждой из прямой):

• (1): x1+2×2=5- она проходит через точки (5;0) и (0;2,5).
• (2): 5×1+x2=9- она проходит через точки (1;4) и (0;9).
• (3): 3×1+2×2=11- она проходит через точки (-1;7) и (3;1).
• (4): x2=0- ось абсцисс (ось OX1).
• (5): x1=0- ось ординат (ось OX2).

Построив прямые системы, найдём соответствующие знакам неравенств полуплоскости и их пересечение:

1)Полуплоскость: x1+2×2 ?5.

Выберем любую точку, например М (2;2), не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство:1•2+2•2?5, 6?5- верное неравенство, следовательно, выбранная точка М (2;2) принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки к точке М»).

2)Полуплоскость: 5×1+x2 ?9.

Выберем любую точку, например М (2;2), не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство:5•2+1•2?9, 12?9-верное неравенство, следовательно, выбранная точка М (2;2) принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки к точке М»).

3) Полуплоскость: 3×1+2×2 ?11.

Выберем любую точку, например М (2;2), не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство: 3•2+2•2?11, 10?11- не верное неравенство, следовательно, выбранная точка М (2;2) не принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки от точки М)»).

• 4) Полуплоскость: x1?0, содержит I и IV координатные плоскости.
• 5)Полуплоскость: x2?0 содержит II и I координатные плоскости.

Многоугольником решений является полуплоскость X2ABCEX1 (заштрихована на рис. 1), координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи.

Для нахождения точек экстремума построим начальную прямую Т0 (линию нулевого уровня), т. е. F (х1,х2)=0 или x1+x2=0 и вектор n (1;1). Начальная прямая проходит через точки (0;0) и (1;-1). Передвигая начальную прямую в направление вектора n (1;1), найдём точку C (точка входа), в которой начальная прямая принимает положение опорной прямой (Т0'). Следовательно, в точке C целевая функция имеет минимальное значение (min). Координаты точки C определяются из решения системы, состоящей из уравнений: x1+2×2=5 и 3×1+2×2=11.

Fmin (х1,х2)= F (C)=F (3;1)=1•3+1•1=3+1=4.

Рис. 1.

Б)Используя графический метод, найти решение следующей задачи линейного программирования:

F (x1;x2)=2×1+2×2>max (min).

Решение:

Построим на плоскости X1OX2 многоугольник решений — область допустимых решений задачи линейного программирования. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим на знаки точных равенств.

Построим первую прямую: x1+3×2=13- она проходит через точки (1;4) и (4;3).

Пусть x1=1, тогда x2=(13−1)/3=4 — точка (1;4);

Пусть x1=4, тогда x2=(13−4)/3=3 — точка (4;3);

Построим вторую прямую: 3×1+x2=10- она проходит через точки (2;4) и (0;10).

Пусть x1=2, тогда x2=10−3•2=4 — точка (2;4);

Пусть x1=0, тогда x2=10−3•0=10 — точка (0;10);

Построим третью прямую: 3×1+2×2=11- она проходит через точки (1;4) и (0;5,5).

Пусть x1=1, тогда x2=(11−3•1)/2=4 — точка (1;4);

Пусть x1=0, тогда x2=(11−2•0)/2=5,5 — точка (0;5,5);

Построим четвертую прямую: x1=0- ось ординат (ось OX2).

Построим пятую прямую: x2=0- ось абсцисс (ось OX1).

Построив прямые системы, найдём соответствующие знакам неравенств полуплоскости и их пересечение: (см. рис.2).

Укажем на графике направление полуплоскости: x1+3×2 ?13.

Выберем любую точку, например, (4;4), не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство:4+3•4?13, 16?13- не верное неравенство, следовательно, выбранная точка (4;4) не принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки от точки (4;4)»).

Укажем на графике направление полуплоскости: 3×1+x2 ?10.

Выберем любую точку, например, (4;4), не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство:3•4+4?10, 16?10- не верное неравенство, следовательно, выбранная точка (4;4) не принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки от точки (4;4)»).

Укажем на графике направление полуплоскости: 3×1+2×2 ?11.

Выберем любую точку, например, (4;4), не лежащую на данной прямой, и поставим её координаты в неравенство: 3•4+2•4?11, 20?11- не верное неравенство, следовательно, выбранная точка (4;4) не принадлежит искомой полуплоскости («направим стрелки от точки (4;4)»).

Укажем на графике направление полуплоскости: x1?0.

Заданному условию соответствует точки I и IV координатных плоскостей.

Укажем на графике направление полуплоскости: x2?0.

Заданному условию соответствует точки II и I координатных плоскостей.

Многоугольником решений является пятиугольник ОАВСD, координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи.

Для нахождения точек минимума построим начальную прямую L0(линию нулевого уровня), т. е. F (x)=0 или 2×1+2×2=0 и вектор n (2;2). Начальная прямая проходит через точки (1;-1) и (0;0).

Передвигая начальную прямую в направление вектора n (2;2), найдём точку О (точка входа) в которой начальная прямая принимает положение опорной прямой, это будет точка min, и точку В (точку выхода), в которой начальная прямая также принимает положение опорной прямой (L0/), это будет точка max. Следовательно, в точке О (0;0) — начало координатцелевая функция имеет минимальное значение, а в точке В целевая функция имеет максимальное значение.

Координаты точки В определяются из решения системы, состоящей из уравнений: x1+3×2=13 и 3×1+2×2=11.

графический полуплоскость координатный функция.

Fmin (X)= Fmin (0;0)=2•0+2•0=0.

Fmax (X)= Fmax (1;4)=2•1+2•4=10.

Ответ: А) Fmin (х1,х2)= F (3;1)=4.

Б)Fmin (0;0)=0 и Fmax (1;4)=10.

Рис. 2.