Критерий Стьюдента. 
Нормальный закон распределения

T-критерий Стьюдента применяется, когда необходимо сделать статистический вывод, равно ли математическое ожидание M{Х} генеральной совокупности некоторому предполагаемому значению С или когда требуется построить доверительный интервал для M{Х}. Обнаружено, что случайная величина t (при независимых наблюдениях) распределена по закону Стьюдента, если Х распределена нормально:

где Nобщее число наблюдений (объем выборки),.

Х — среднее арифметическое случайной переменной Х;

S{Х), S{X}- среднеквадратическое отклонение соответственно единичных значений Х и среднего арифметического Х.

На рис. 1.2 показаны кривые дифференциального закона распределения Ф (t) для различных степеней свободы f=N-1, по которым вычисляют несмещенную оценку дисперсии S2{ Х }. При сравнительно небольших N кривая Ф (t) более пологая, чем нормальный закон распределения Ф (Х). При N——- кривая Ф (t) приближается к кривой нормированного нормального распределения. Из рис. 1.2 видно, что t-распределение симметрично относительно t=0, поэтому в таблицах, где даны критические значения tкр = tq, f для принятого уровня значимости q и имеющегося числа степеней свободы f, задаются только положительные tкр. Если при расчете t по формуле (1.3) при подстановке в нее вместо М{X} предполагаемого значения С окажется, что t< tкр, то можно сделать вывод о том, что гипотеза М{X} = С не противоречит результатам наблюдения при принятой уровне значимости q.

В противном случае эта гипотеза отвергается с тем же уровнем значимости q. При этом остается возможность совершить ошибку первого рода, т. е. отвергнуть верную гипотезу с вероятностью q. Рассмотрим использование t-критерия Стьюдента для построения доверительного интервала для математического ожидания. При t=tкр разность [X — M{Х}] в (1.3) равна половине ширины доверительного интервала т. е.

M{X}, определяется следующими выражениями:

Поскольку математическое ожидание М{X} есть истинное, объективно существующее неслучайное значение, а границы интервала — случайные величины (за счет наличия в них случайных величин X и S{X}), то правильно будет говорить о том, что доверительный интервал (1.5), (1.6) с вероятностью Р = I — q накрывает М {X}.