Методика вычисления, область применения и оценка достоверности линейной и ранговой корреляции

Методика вычисления и оценка достоверности линейной корреляции

Социально-экономические явления представляют собой результат одновременного воздействия большого числа причин. Следовательно, при изучении этих явлений необходимо выявлять главные, основные причины, абстрагируясь от второстепенных. При изучении конкретных зависимостей одни признаки выступают в качестве факторов, обуславливающих изменение других признаков. Признаки этой группы называются факторными, а признаки, которые являются результатом влияния этих факторов, называются результативными. Связи между явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты связи, направлению и аналитическому выражению.

В статистике различают функциональную связь и стохастическую зависимость. Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака. Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем при большом числе наблюдений, то такая зависимость называется стохастической.

Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

При изучении связи экономических показателей используют различного вида уравнения прямолинейной связи, в том числе уравнение линейной функции:

(1).

Оценка параметров уравнений регрессии осуществляется методом наименьших квадратов (МНК), в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности. Сущность МНК заключается в нахождении параметров модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии.

— для уравнения прямой.(2).

Рассмотрим расчет параметров однофакторной линейной модели. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму.

Уравнение однофакторной линейной корреляционной связи имеет вид (1): .

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов имеет вид:

(3).

где n — объем исследуемой совокупности.

В уравнениях регрессии параметр a₀ показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; параметр a₁ (в уравнении параболы и a₂) — коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

Можно воспользоваться готовыми формулами нахождения параметров:

• (4)
• (5)

Определив значения a₀, a₁ и подставив их в уравнение связи, находим значения y_x, зависящие только от заданного значения x.

Для практического использования моделей регрессии большое значение имеет их адекватность, т. е. соответствие фактическим статистическим данным. Потому, при линейной форме уравнения применяется показатель тесноты связи, называемый линейным коэффициентом корреляции. Для практических вычислений при малом числе наблюдений (n<30) его удобнее исчислять по следующей формуле:

.(6).

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные — на прямую. При r=0 связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. При r=±1 связь функциональная.

По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи. Оценка линейного коэффициента корреляции может быть произведена по таблице 1.

Таблица 1 — Количественные критерии оценки тесноты связи.

Квадрат линейного коэффициента корреляции r² называется линейным коэффициентом детерминации, его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1.

Факт совпадений и несовпадений значений теоретического корреляционного отношения з и линейного коэффициента корреляции r используется для оценки формы связи. Если значения з и r совпадают, можно сделать вывод о наличии прямолинейной связи. Несовпадение этих величин свидетельствует, что связь между изучаемыми признаками не линейная, а криволинейная.

Показатели тесноты связи, исчисленные по данным сравнительно небольшой статистической совокупности, могут искажаться действием случайных причин. Это вызывает необходимость проверки их существенности, дающей возможность распространять выводы по результатам выборки на генеральную совокупность.

Для оценки значимости коэффициента корреляции r используют t — критерий Стьюдента. При линейной однофакторной связи t — критерий можно рассчитать по формуле:

(7).

где n-2 — число степеней свободы при заданном уровне значимости б и объеме выборки n.

Полученное значение t_расч сравнивают с табличным значением t — критерия (для б=0,05 и 0,01). Если t_расч>t_табл, то коэффициент корреляции признается значимым.

После проверки адекватности, установления точности и надежности построенной модели, ее необходимо проанализировать. Из уравнения регрессии следует, что при изменении факторного признака x на единицу результативный признак изменится на параметр a₁.

Для удобства интерпретации параметра a₁ используют коэффициент эластичности. Он показывает средние изменения результативного признака при изменении факторного признака на 1%, %:

.(8).

Имеет смысл вычислить остатки, характеризующие отклонение i-x наблюдений от значений, которые следует ожидать в среднем.