Принципы теории вероятности

Задача № 1

Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина.

Решение

Вероятность того, что в делегацию войдет первая женщина равна 5/25.

Вероятность того, что в делегацию войдет вторая женщина равна (5−1)/24.

Вероятность того, что в делегацию войдет первый мужчина равна 20/23.

Ответ: 0,087.

Задача № 2

Гардеробщица выдала одновременно номерки четырем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятность того, что ровно три лица получат свои шляпы.

Решение

Вероятность того, что первый человек получит свою шляпу равно.

Вероятность того, что второй человек получит свою шляпу равно ;

Вероятность того, что третий человек получит свою шляпу равно.

Вероятность того, что три лица получат свои шляпы равно:

Ответ: 0,04.

Задача № 3

В группе 60% студентов — юноши. 80% юношей и 75% девушек имеют билеты на дискотеку. В группу принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что он принадлежал юноше?

Решение

Так как юношей среди студентов 60%, то девушек, соответственно, будет 40%.

Найдем процентное соотношение билетов находившихся у юношей:

Процентное соотношение девушек, имеющих билеты:

Найдем искомую вероятность:

Ответ: 0,615.

Задача № 4

Игральная кость брошена 10 раз. Найти вероятность выпадения единицы не менее 2 раз.

Решение

Вероятность выпадения единицы при броске кости =1/6. Пусть Е — событие выпадение не мене 2 единиц. Тогда найдем искомую вероятность по следующей формуле:

Ответ: 0,807.

Задача № 5

Монету бросили 500 раз. Найти вероятность того, что герб выпал ровно 260 раз.

Решение

По асимптотической формуле находим:

Вычислим значение х:

По таблице находим значение функции j (0,89)= 0,2685.

Ответ: 0,0239.

Задача № 6

Вероятность сдачи экзамена для каждого из трех студентов равна 0.8. Случайная величина (СВ) Х — число студентов сдавших экзамен. Получить ряд распределения, вычислить функцию распределения F (x) и построить ее график.

Решение

Случайная величина Х (Х — число студентов сдавших экзамен) может принимать четыре значения: 0,1,2,3. Найдем вероятности, с которыми эти значения принимаются. Случайная величина Х принимает значение 0, если ни один из студентов не сдал экзамен. Значит,.

Случайная величина Х принимает значение 1, если один студент сдал экзамен. Значит,.

Случайная величина Х принимает значение 3, если два студента сдали экзамен. Значит,.

Случайная величина Х принимает значение 3, если все три студента сдали экзамен. Значит,.

Составляем ряд распределения.

Х.
р	0,008.	0,096.	0,384.	0,512.

Функция распределения:

• — для ,
• — для ,
• — для ,
• — для ,
• — для ,

Математическое ожидание:

Дисперсия:

6,24 — 5,76=0,48.

Среднее квадратичное отклонение:

Вычислить функцию распределения F (x). Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, заданной рядом распределения.

i
pi	0,1.	0,3.	0,2.	0,3.	0,1.

Решение

Функция распределения:

• — для ,
• — для ,
• — для ,
• — для ,
• — для ,

Математическое ожидание:

Дисперсия:

21,6−16=5,6.

Среднее квадратичное отклонение:

вероятность математический дисперсия дискретный Плотность вероятности случайной величины Х равна.

Найти постоянную С, функцию распределения F (x), математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания СВ на отрезок [0,5; 1,5].

Решение

а) Найти постоянную С.

Найдем ее из свойства:

б) Функцию распределения F (x).

• в) Математическое ожидание
• г) Дисперсию

д) вероятность попадания СВ на отрезок [0,5; 1,5].

По выборке одномерной случайной величины.

• — построить график эмпирической функции распределения ,
• — построить гистограмму относительных частот равноинтервальным способом,
• — вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии,
• — вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности ,
• — выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия Пирсона при уровне значимости .

Одномерная выборка.

19,80−19,85.	19,85−19,90.	19,90−19,95.	19,95−20,00.	20,00−20,05.	20,05−20,10.

Точечная оценка математического ожидания:

Точечная оценка дисперсии:

— вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности ,.

интервальная оценка математического ожидания:

где — табличное значение.

интервальная оценка дисперсии:

— выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия Пирсона при уровне значимости .

Признак Х имеет нормальный закон распределения, проверим гипотезу при помощи критерия Пирсона: