Анализ многомерных данных

Классификация методов анализа многомерных данных

В предыдущей главе рассматривались методы статистического анализа данных, описываемых в основном одной переменной. Здесь приведем методы, позволяющие анализировать данные, описываемые любым числом переменных, т. е. так называемые многомерные данные.

Несмотря на большое разнообразие методов анализа многомерных данных, имеется четкая система представления как самих данных, так и результатов их анализа. Данные представляются в виде прямоугольной таблицы (матрицы), строки которой соответствуют различным ситуациям (наблюдениям), а столбцы — переменным, наблюдаемым в этих ситуациях; результаты — в виде функций, выражающих одни переменные (называемые зависимыми переменными, или откликами) через другие (называемые независимыми переменными, или факторами).

Такое представление исходных данных и результатов анализа чрезвычайно удобно, поскольку предлагает ясную схему для сбора данных, их обработки и интерпретации полученных результатов.

Приведенная на рис. 3.1 классификация методов анализа данных проведена по двум основаниям: отсутствию (правая часть схемы) или наличию (левая часть схемы) независимых переменных, а также по типу зависимых и независимых переменных, которые могут быть качественными или количественными. Деление по первому основанию определяет содержательную постановку задачи, тогда как дальнейшее деление методов по типу зависимых и независимых переменных носит скорее технический характер, детализируя математическую процедуру ее решения.

В случае априорного разделения переменных на зависимые и независимые (левая часть схемы) задача анализа состоит в получении описания зависимости Y от X. Выбор метода решения зависит прежде всего от того, являются качественными или ко;

Рис. 3.1. Классификация методов анализа данных.

личественными зависимые переменные У. Окончательное решение о выборе метода анализа данных принимается в зависимости от типа независимых переменных X.

Наиболее часто на практике для установления связи между независимыми и зависимыми переменными применяют регрессионный и дисперсионный анализ. В обоих случаях откликами служат количественные переменные, однако факторы в регрессионном анализе количественные, а в дисперсионном — качественные.

В регрессионном, анализе наиболее явно виден функциональный характер модели анализа данных. Задача регрессионного анализа прямо формулируется как задача поиска функциональной зависимости У от X, причем задача поиска формы связи не менее важна, чем вопросы статистической значимости полученных результатов.

Наиболее широко применяется модель множественного линейного регрессионного анализа, позволяющая получать аналитически все стандартные статистические оценки.

В более сложных ситуациях (например, при использовании пошаговых процедур) для получения статистических выводов приходится применять методы, основанные на стохастическом моделировании, такие как случайная пермутация или бут-стрэп.

Задачей дисперсионного анализа является установление связи между независимыми качественными переменными и зависимыми количественными. Но поскольку функциональная структура связи очень проста — отклики представляются как линейные комбинации бинарных переменных — уровней факторов, то основное внимание в дисперсионном анализе уделяется вопросам статистической значимости влияния отдельных факторов.

Если отклики У качественные, то для анализа применяют группу методов, известную под общим названием «распознавание образов». Наиболее используемым методом распознавания в случае количественных факторов является дискриминантный анализ.

Примерами методов распознавания, ориентированных на случай качественных факторов, могут служить сегментационный анализ и метод обобщенного портрета.

Целью дискриминантного анализа является получение правила, позволяющего на основе наблюденных значений количественных независимых переменных X предсказывать значение качественной переменной У, указывающей на принадлежность наблюдения к одному из заданных классов.

Сегментационный анализ состоит в последовательном разбиении совокупности наблюдений в целях получения в конечном итоге групп, максимально однородных по классовому составу.

Случай отсутствия зависимых переменных (правая часть рис. 3.1) предполагает, что все анализируемые переменные в некотором смысле равноправны, и мы принимаем их за отклики (для простоты будем считать их количественными), значения которых определяются какими-то неизвестными нам факторами.

Примерами могут служить морфологические или генетические характеристики растений, животных или людей, принадлежащих определенному таксону или обитающих на определенной территории. Задача анализа состоит в поиске неизвестных факторов. Выбор метода решения зависит от того, считаем ли мы искомые факторы качественными или количественными.

Для поиска качественных факторов применяется группа методов, известная под названием кластерный анализ, среди которых наиболее часто используется так называемый агломеративно-иерархический метод, основанный на последовательном объединении многомерных наблюдений сначала в мелкие, а затем во все более крупные группы. Результатом кластерного анализа является разбиение всей совокупности наблюдений на классы. Полученной классификации соответствует качественная переменная (или группа переменных, если используются несколько классификаций разной степени дробности или пересекающиеся классификации), категориями которой служат номера классов. Именно эта переменная (или переменные) и будет искомым качественным фактором. Найдя такой фактор (классифицирующую переменную), мы получаем возможность объяснять сходство или различие в значениях откликов для разных наблюдений принадлежностью их к одному или разным классам.

Если же неизвестные факторы ищутся в форме количественных переменных, то применяются методы факторного анализа. В этом случае задача состоит в представлении имеющихся откликов Y в виде линейных комбинаций неизвестных количественных факторов X. С практической точки зрения применение этого метода оправдано, если удается с достаточной степенью приближения выразить большое количество откликов через малое число факторов. Одним из наиболее часто используемых методов этого класса является метод главных компонент, основанный на ортогональном проектировании исходного многомерного пространства в пространство меньшей размерности, в котором точки-наблюдения имеют наибольший разброс. Метод позволяет записать исходные данные в более компактном виде с сохранением максимума содержащейся в них информации и даже представить их графически на плоскости для случая двух факторов.

Следует еще раз подчеркнуть, что основным является разделение методов анализа на те, в которых переменные делятся на зависимые и независимые (анализ связи), и те, в которых такого деления нет (анализ факторов). Дальнейшее дробление методов по типу откликов и факторов довольно относительно. Дело в том, что уровни качественных факторов можно рассматривать как бинарные переменные, которые, в свою очередь, можно считать количественными переменными со значениями 0 и 1. С другой стороны, непрерывную шкалу значений количественной переменной можно категоризовать и рассматривать эту переменную как качественную. Во всяком случае, такого рода преобразования приходится делать вынужденно, когда по типу различаются не только факторы и отклики, но и разные переменные среди факторов или среди откликов.