Затруднение жестянщика. 
Занимательная геометрия

ЗАДАЧА Жестянщику заказали изготовить из квадратного куска жести в 60 см ширины коробку без крышки с квадратным дном и поставили условием, чтобы коробка име;

Рис. 182. Затруднение жестянщика ла наибольшую вместимость. Жестянщик долго примерял, какой ширины должно для этого отогнуть края, но не мог прийти к определенному решению (рис. 182). Не удастся ли читателю выручить его из затруднения?

РЕШЕНИЕ Пусть ширина отгибаемых полос х (рис. 183). Тогда ширина квадратного дна коробки будет равна 60 -2х; объем же v коробки выразится произведением.

Рис. 183. Решение задачи жестянщика.

При каком х это произведение имеет наибольшее значение? Если бы сумма трех множителей была постоянна, произведение было бы наибольшим в случае их равенства. Но здесь сумма множителей.

не есть постоянная величина, так как изменяется с изменением х. Однако 'нетрудно добиться того, чтобы сумма трех множителей была постоянной: для этого достаточно лишь умножить обе части равенства на 4. Получим:

Сумма этих множителей равна.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

величине постоянной. Значит, произведение этих множителей достигает наибольшей величины при их равенстве, т. е. когда откуда Тогда же 4v, а с ними и v достигнут своего максимума. Итак, коробка получится наибольшего объема, если у жестяного листа отогнуть 10 см. Этот наибольший объем равен 40 • 40 • 10 = 16 000 куб. см. Отогнув на сантиметр меньше или больше, мы в обоих случаях уменьшим объем коробки. Действительно,.

в том и другом случаях меньше 16 000 куб. см^[1][2]. Затруднение токаря ЗАДАЧА Токарю дан конус и поручено выточить из него цилиндр так, чтобы сточено было возможно меньше материала (рис. 184). Токарь стал размышлять о форме искомого цилиндра: сделать ли его высоким, хотя и узким (рис. 185, слева), или, наоборот, широким, зато низким (рис. 185, справа). Он долго не мог решить, при какой форме цилиндр получится наибольшего объема, т. е. будет сточено меньше материала. Как он должен поступить?

Рис. 184. Затруднение токаря.

РЕШЕНИЕ Задача требует внимательного геометрического рассмотрения. Пусть АВС (рис. 186) — сечение конуса, BD — его высота, которую обозначим через /г; радиус основания AD = DC обозначим через R. Цилиндр, который можно из конуса выточить, имеет сечение MNOP. Найдем, на каком расстоянии BE = х от вершины В должно находиться верхнее основание цилиндра, чтобы объем его был наибольший.

Радиус г основания цилиндра (PD или ME) легко найти из пропорции откуда

Высота ED цилиндра равна h — х. Следовательно, объем его.

откуда.

Рис. 185. Из конуса можно выточить цилиндр высокий, но узкий или широкий, но низкий. В каком случае будет сточено меньше материала?

Рис. 186. Осевое сечение конуса и цилиндра.

vh²

В выражении —гвеличины h, л и R — постоянные л R²

и только v — переменная. Мы желаем разыскать такое х, при котором v делается наибольшим. Но, очевидно, v станет наибольшим одновременно с

Когда же это последнее выражение становится наибольшим? Мы имеем здесь три переменных множителя х, х и (h-x). Если бы их сумма была постоянной, произведение было бы наибольшим тогда, когда множители были бы равны. Этого постоянства суммы легко добиться, если обе части последнего равенства умножить на 2. Тогда получим:

Теперь три множителя правой части имеют постоянную сумму.

Следовательно, произведение их будет наибольшим, когда все множители равны, т. е.

Тогда же станет наибольшим и выражение, а с ним вместе и объем v цилиндра.

Теперь мы знаем, как должен быть выточен искомый цилиндр: его верхнее основание должно отстоять от о.

вершины на /3 его высоты.

• [1] 1 Решая задачу в общем виде, найдем, что при ширине аквадратного листа нужно для получения коробки наибольшего объе-
• [2] ма отогнуть полоски шириною х-—а, потому что произведение 6 (а -2х) (а- 2х) х, или (а -2х){а- 2т) 4х — наибольшее при, а — 2х = 4х.